1.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 80 عند t = 0 و 232 عند t = 7 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 80y(7) = 232
k = h⁻¹
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 4y′ + 64y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 4y′ + 64y = 0
ζ =
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 400 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 27 °C. بعد 41 min تكون درجة حرارتها 191 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 125 °C؟
T0 = 400 °CTa = 27 °CT(41) = 191 °CT = 125 °C
t = min
4.متوسطة
حلّ y″ + 2y′ + y = 0 مع y(0) = 5 وy′(0) = -2. أوجد y(0,5).
y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 5y′(0) = -2
y(0.5) =
5.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 2y/x = 6x لـ x > 0، مع y(1) = 1. أوجد y(2).
y′ + 2y/x = 6xy(1) = 1
y(2) =
6.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 3y/x = 5x2 لـ x > 0، مع y(1) = −3. أوجد y(2).
y′ + 3y/x = 5x2y(1) = −3
y(2) =
مفتاح الإجابات
- 1. k = 0,1521 h⁻¹
- 2. ζ = 0,25
- 3. t = 66,69 min
- 4. y(0.5) = 3,942
- 5. y(2) = 5,875
- 6. y(2) = 6,188
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.