1.سهلة
للمعادلة y″ + 6y′ + 8y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 6y′ + 8y = 0
r =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 8y′ + 64y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 8y′ + 64y = 0
ζ =
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 420 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 29 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,05 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 24 min.
T0 = 420 °CTa = 29 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 24 min
T = °C
4.متوسطة
حلّ y″ + 6y′ + 9y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = -2. أوجد y(0,5).
y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 2y′(0) = -2
y(0.5) =
5.صعبة
حلّ y″ + y′ + 4,25y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + y′ + 4,25y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(0.5) =
6.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 2y/x = 1 لـ x > 0، مع y(1) = −3. أوجد y(3).
y′ + 2y/x = 1y(1) = −3
y(3) =
مفتاح الإجابات
- 1. r = −2
- 2. ζ = 0,5
- 3. T = 146,8 °C
- 4. y(0.5) = 0,8925
- 5. y(0.5) = 0,5846
- 6. y(3) = 0,6296
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.