1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 21 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 10 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 18 يومًا؟
m0 = 10 mgt½ = 21 dt = 18 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 24 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 80 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 78 يومًا؟
m0 = 80 mgt½ = 24 dt = 78 d
m = mg
3.متوسطة
حلّ y″ + 4y′ + 4y = 0 مع y(0) = 5 وy′(0) = -1. أوجد y(1,5).
y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 5y′(0) = -1
y(1.5) =
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 300 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 30 °C. بعد 35 min تكون درجة حرارتها 77 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 300 °CTa = 30 °CT(35) = 77 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
حلّ y″ + 3y′ + 11,25y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(1,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 3y′ + 11,25y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(1.5) =
6.صعبة
خزان يحتوي 100 L من الماء النقي. محلول ملحي يحتوي 0,1 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 5 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 25 min؟
V = 100 Lm0 = 0 kgc = 0,1 kg/Lr = 5 L/min
m = kg
مفتاح الإجابات
- 1. m = 5,52 mg
- 2. m = 8,409 mg
- 3. y(1.5) = 0,9211
- 4. k = 0,04995 min⁻¹
- 5. y(1.5) = −0,07373
- 6. m = 7,135 kg
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.