1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 4,8y′ + 9y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 4,8y′ + 9y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تضمحلّ وفق dy/dt = −k·y مع k > 0. قيمتها 200 عند t = 0 و 100 عند t = 9 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 200y(9) = 100
k = h⁻¹
3.متوسطة
كوب قهوة عند 93 °C تُرك في غرفة عند 20 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,11 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 22 min.
T0 = 93 °CTa = 20 °Ck = 0,11 min⁻¹t = 22 min
T = °C
4.متوسطة
كوب قهوة عند 90 °C تُرك في غرفة عند 21 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,12 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 10 min.
T0 = 90 °CTa = 21 °Ck = 0,12 min⁻¹t = 10 min
T = °C
5.صعبة
خزان يحتوي 200 L من الماء النقي. محلول ملحي يحتوي 0,25 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 2 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 45 min؟
V = 200 Lm0 = 0 kgc = 0,25 kg/Lr = 2 L/min
m = kg
6.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + y/x = 3x2 لـ x > 0، مع y(1) = 1. أوجد y(2).
y′ + y/x = 3x2y(1) = 1
y(2) =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,8
- 2. k = 0,07702 h⁻¹
- 3. T = 26,49 °C
- 4. T = 41,78 °C
- 5. m = 18,12 kg
- 6. y(2) = 6,125
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.