1.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 120 عند t = 0 و 180 عند t = 9 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 120y(9) = 180
k = h⁻¹
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 0,8y′ + 4y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 0,8y′ + 4y = 0
ζ =
3.متوسطة
كوب قهوة عند 86 °C تُرك في غرفة عند 19 °C. بعد 19 min تكون درجة حرارتها 50 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 86 °CTa = 19 °CT(19) = 50 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
حلّ y″ + 8y′ + 16y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = -2. أوجد y(0,5).
y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 1y′(0) = -2
y(0.5) =
5.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 2y/x = 6 لـ x > 0، مع y(1) = 0. أوجد y(3).
y′ + 2y/x = 6y(1) = 0
y(3) =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 18,25y = 18,25 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 3y′ + 18,25y = 18,25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
مفتاح الإجابات
- 1. k = 0,04505 h⁻¹
- 2. ζ = 0,2
- 3. k = 0,04056 min⁻¹
- 4. y(0.5) = 0,2707
- 5. y(3) = 5,778
- 6. ymax = 1,308
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.