1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 17 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 20 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 36 يومًا؟
m0 = 20 mgt½ = 17 dt = 36 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 20 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 80 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 46 يومًا؟
m0 = 80 mgt½ = 20 dt = 46 d
m = mg
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 320 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 25 °C. بعد 54 min تكون درجة حرارتها 197 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 320 °CTa = 25 °CT(54) = 197 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
حلّ y″ + 2y′ + y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = 2. أوجد y(2).
y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 3y′(0) = 2
y(2) =
5.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 3y/x = x2 لـ x > 0، مع y(1) = −3. أوجد y(3).
y′ + 3y/x = x2y(1) = −3
y(3) =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 25,25y = 126,3 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + y′ + 25,25y = 126,3y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
مفتاح الإجابات
- 1. m = 4,608 mg
- 2. m = 16,25 mg
- 3. k = 0,00999 min⁻¹
- 4. y(2) = 1,759
- 5. y(3) = 4,383
- 6. ymax = 8,652
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.