1.سهلة
كمية تضمحلّ وفق dy/dt = −k·y مع k > 0. قيمتها 250 عند t = 0 و 88 عند t = 2 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 250y(2) = 88
k = h⁻¹
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 4y′ + 25y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 4y′ + 25y = 0
ζ =
3.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 4 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 22 °C. بعد 28 min تكون درجة حرارتها 14 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 18 °C؟
T0 = 4 °CTa = 22 °CT(28) = 14 °CT = 18 °C
t = min
4.متوسطة
كوب قهوة عند 86 °C تُرك في غرفة عند 22 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,04 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 9 min.
T0 = 86 °CTa = 22 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 9 min
T = °C
5.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 2y/x = 1 لـ x > 0، مع y(1) = 0. أوجد y(2).
y′ + 2y/x = 1y(1) = 0
y(2) =
6.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + y/x = 3 لـ x > 0، مع y(1) = 1. أوجد y(3).
y′ + y/x = 3y(1) = 1
y(3) =
مفتاح الإجابات
- 1. k = 0,5221 h⁻¹
- 2. ζ = 0,4
- 3. t = 51,93 min
- 4. T = 66,65 °C
- 5. y(2) = 0,5833
- 6. y(3) = 4,333
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.