1.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 200 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,18 h⁻¹. بعد كم ساعة t يصبح عددها 2000 خلية؟
N0 = 200k = 0,18 h⁻¹N = 2000
t = h
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 500 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,13 h⁻¹. بعد كم ساعة t يصبح عددها 1500 خلية؟
N0 = 500k = 0,13 h⁻¹N = 1500
t = h
3.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 5 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 23 °C. بعد 25 min تكون درجة حرارتها 20 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 5 °CTa = 23 °CT(25) = 20 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 340 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 27 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,02 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 22 min.
T0 = 340 °CTa = 27 °Ck = 0,02 min⁻¹t = 22 min
T = °C
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 2y′ + 17y = 170 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,25)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 2y′ + 17y = 170y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.25) =
6.صعبة
حلّ y′ + 3y = 9e−t مع y(0) = 1. أوجد y(2).
y′ + 3y = 9e−ty(0) = 1
y(2) =
مفتاح الإجابات
- 1. t = 12,79 h
- 2. t = 8,451 h
- 3. k = 0,07167 min⁻¹
- 4. T = 228,6 °C
- 5. y(0.25) = 4,154
- 6. y(2) = 0,6003
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.