1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 19,2y′ + 64y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 19,2y′ + 64y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 12 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 10 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 30 يومًا؟
m0 = 10 mgt½ = 12 dt = 30 d
m = mg
3.متوسطة
حلّ y″ + 5y′ + 4y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = -2. أوجد y(1).
y″ + 5y′ + 4y = 0y(0) = 1y′(0) = -2
y(1) =
4.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 5 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 27 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,05 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 27 min.
T0 = 5 °CTa = 27 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 27 min
T = °C
5.صعبة
خزان يحتوي 500 L من الماء أُذيب فيه 5 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,1 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 20 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 50 min؟
V = 500 Lm0 = 5 kgc = 0,1 kg/Lr = 20 L/min
m = kg
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 25,25y = 126,3 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + y′ + 25,25y = 126,3y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 1,2
- 2. m = 1,768 mg
- 3. y(1) = 0,2514
- 4. T = 21,3 °C
- 5. m = 43,91 kg
- 6. ymax = 8,652
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.