1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 3,6y′ + 36y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 3,6y′ + 36y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 14y′ + 100y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 14y′ + 100y = 0
ζ =
3.متوسطة
حلّ y″ + 4y′ + 4y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = 2. أوجد y(2).
y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 2y′(0) = 2
y(2) =
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 420 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 27 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,02 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 23 min.
T0 = 420 °CTa = 27 °Ck = 0,02 min⁻¹t = 23 min
T = °C
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 11,25y = 11,25 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 3y′ + 11,25y = 11,25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + y/x = 3 لـ x > 0، مع y(1) = −2. أوجد y(3).
y′ + y/x = 3y(1) = −2
y(3) =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,3
- 2. ζ = 0,7
- 3. y(2) = 0,2564
- 4. T = 275,1 °C
- 5. ymax = 1,208
- 6. y(3) = 3,333
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.