1.سهلة
للمعادلة y″ + 8y′ + 12y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 8y′ + 12y = 0
r =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 50 عند t = 0 و 125 عند t = 9 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 50y(9) = 125
k = h⁻¹
3.متوسطة
كوب قهوة عند 90 °C تُرك في غرفة عند 23 °C. بعد 5 min تكون درجة حرارتها 66 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 90 °CTa = 23 °CT(5) = 66 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 5 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 22 °C. بعد 10 min تكون درجة حرارتها 9 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 5 °CTa = 22 °CT(10) = 9 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
خزان يحتوي 100 L من الماء النقي. محلول ملحي يحتوي 0,1 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 10 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 20 min؟
V = 100 Lm0 = 0 kgc = 0,1 kg/Lr = 10 L/min
m = kg
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 25,25y = 50,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + y′ + 25,25y = 50,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
مفتاح الإجابات
- 1. r = −2
- 2. k = 0,1018 h⁻¹
- 3. k = 0,0887 min⁻¹
- 4. k = 0,02683 min⁻¹
- 5. m = 8,647 kg
- 6. ymax = 3,461
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.