1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 1,6y′ + 64y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 1,6y′ + 64y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 5000 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,15 h⁻¹. بعد كم ساعة t يصبح عددها 15000 خلية؟
N0 = 5000k = 0,15 h⁻¹N = 15000
t = h
3.متوسطة
كوب قهوة عند 85 °C تُرك في غرفة عند 24 °C. بعد 21 min تكون درجة حرارتها 56 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 85 °CTa = 24 °CT(21) = 56 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
كوب قهوة عند 90 °C تُرك في غرفة عند 18 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,12 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 25 min.
T0 = 90 °CTa = 18 °Ck = 0,12 min⁻¹t = 25 min
T = °C
5.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 3y/x = 2x لـ x > 0، مع y(1) = 3. أوجد y(2).
y′ + 3y/x = 2xy(1) = 3
y(2) =
6.صعبة
خزان يحتوي 1000 L من الماء النقي. محلول ملحي يحتوي 0,05 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 4 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 120 min؟
V = 1000 Lm0 = 0 kgc = 0,05 kg/Lr = 4 L/min
m = kg
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,1
- 2. t = 7,324 h
- 3. k = 0,03072 min⁻¹
- 4. T = 21,58 °C
- 5. y(2) = 1,925
- 6. m = 19,06 kg
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.