1.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 100 عند t = 0 و 340 عند t = 2 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 100y(2) = 340
k = h⁻¹
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
للمعادلة y″ + 4y′ + 3y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 4y′ + 3y = 0
r =
3.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 6 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 25 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,04 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 16 min.
T0 = 6 °CTa = 25 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 16 min
T = °C
4.متوسطة
كوب قهوة عند 83 °C تُرك في غرفة عند 18 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,04 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 19 min.
T0 = 83 °CTa = 18 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 19 min
T = °C
5.صعبة
خزان يحتوي 1000 L من الماء النقي. محلول ملحي يحتوي 0,1 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 2 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 60 kg من الملح؟
V = 1000 Lm0 = 0 kgc = 0,1 kg/Lr = 2 L/min
t = min
6.صعبة
حلّ y′ + 3y = 5e−0,5t مع y(0) = 1. أوجد y(0,5).
y′ + 3y = 5e−0,5ty(0) = 1
y(0.5) =
مفتاح الإجابات
- 1. k = 0,6119 h⁻¹
- 2. r = −1
- 3. T = 14,98 °C
- 4. T = 48,4 °C
- 5. t = 458,1 min
- 6. y(0.5) = 1,334
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.