1.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 1500 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,06 h⁻¹. كم خلية N توجد بعد 24 h؟
N0 = 1500k = 0,06 h⁻¹t = 24 h
N =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تضمحلّ وفق dy/dt = −k·y مع k > 0. قيمتها 400 عند t = 0 و 300 عند t = 12 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 400y(12) = 300
k = h⁻¹
3.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 6 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 30 °C. بعد 6 min تكون درجة حرارتها 13 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 6 °CTa = 30 °CT(6) = 13 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 480 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 21 °C. بعد 60 min تكون درجة حرارتها 159 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 83 °C؟
T0 = 480 °CTa = 21 °CT(60) = 159 °CT = 83 °C
t = min
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 18,25y = 182,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,25)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 3y′ + 18,25y = 182,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.25) =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 13y = 65 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(1)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 4y′ + 13y = 65y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
مفتاح الإجابات
- 1. N = 6331
- 2. k = 0,02397 h⁻¹
- 3. k = 0,05747 min⁻¹
- 4. t = 99,95 min
- 5. y(0.25) = 4,118
- 6. y(1) = 5,606
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.