1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 11,2y′ + 64y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 11,2y′ + 64y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 4,8y′ + 36y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 4,8y′ + 36y = 0
ζ =
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 440 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 26 °C. بعد 46 min تكون درجة حرارتها 92 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 440 °CTa = 26 °CT(46) = 92 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
حلّ y″ + 2y′ + y = 0 مع y(0) = 5 وy′(0) = 4. أوجد y(1).
y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 5y′(0) = 4
y(1) =
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 18,25y = 18,25 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 3y′ + 18,25y = 18,25y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 2y′ + 10y = 50 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 2y′ + 10y = 50y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,7
- 2. ζ = 0,4
- 3. k = 0,03992 min⁻¹
- 4. y(1) = 5,15
- 5. y(0.5) = 1,036
- 6. ymax = 6,755
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.