1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 11 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 50 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 7 يومًا؟
m0 = 50 mgt½ = 11 dt = 7 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 400 عند t = 0 و 560 عند t = 8 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 400y(8) = 560
k = h⁻¹
3.متوسطة
حلّ y″ + 5y′ + 6y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = -4. أوجد y(1,5).
y″ + 5y′ + 6y = 0y(0) = 2y′(0) = -4
y(1.5) =
4.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 3 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 29 °C. بعد 14 min تكون درجة حرارتها 16 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 3 °CTa = 29 °CT(14) = 16 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
خزان يحتوي 200 L من الماء أُذيب فيه 10 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,2 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 20 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 19 kg من الملح؟
V = 200 Lm0 = 10 kgc = 0,2 kg/Lr = 20 L/min
t = min
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 2y′ + 26y = 260 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 2y′ + 26y = 260y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
مفتاح الإجابات
- 1. m = 32,17 mg
- 2. k = 0,04206 h⁻¹
- 3. y(1.5) = 0,09957
- 4. k = 0,04951 min⁻¹
- 5. t = 3,567 min
- 6. ymax = 15,33
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.