1.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 200 عند t = 0 و 300 عند t = 10 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 200y(10) = 300
k = h⁻¹
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 0,8y′ + 4y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 0,8y′ + 4y = 0
ζ =
3.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 3 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 25 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,08 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 10 min.
T0 = 3 °CTa = 25 °Ck = 0,08 min⁻¹t = 10 min
T = °C
4.متوسطة
حلّ y″ + 7y′ + 10y = 0 مع y(0) = 5 وy′(0) = 2. أوجد y(0,5).
y″ + 7y′ + 10y = 0y(0) = 5y′(0) = 2
y(0.5) =
5.صعبة
خزان يحتوي 500 L من الماء النقي. محلول ملحي يحتوي 0,25 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 5 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 85 min؟
V = 500 Lm0 = 0 kgc = 0,25 kg/Lr = 5 L/min
m = kg
6.صعبة
حلّ y″ + y′ + 16,25y = 0 مع y(0) = 5 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(1,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + y′ + 16,25y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(1.5) =
مفتاح الإجابات
- 1. k = 0,04055 h⁻¹
- 2. ζ = 0,2
- 3. T = 15,11 °C
- 4. y(0.5) = 2,983
- 5. m = 71,57 kg
- 6. y(1.5) = 2,185
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.