1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 4,8y′ + 4y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 4,8y′ + 4y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تضمحلّ وفق dy/dt = −k·y مع k > 0. قيمتها 200 عند t = 0 و 110 عند t = 5 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 200y(5) = 110
k = h⁻¹
3.متوسطة
حلّ y″ + 5y′ + 6y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = 2. أوجد y(0,5).
y″ + 5y′ + 6y = 0y(0) = 3y′(0) = 2
y(0.5) =
4.متوسطة
كوب قهوة عند 84 °C تُرك في غرفة عند 18 °C. بعد 23 min تكون درجة حرارتها 26 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 84 °CTa = 18 °CT(23) = 26 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 20y = 40 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 4y′ + 20y = 40y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 11,25y = 112,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 3y′ + 11,25y = 112,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 1,2
- 2. k = 0,1196 h⁻¹
- 3. y(0.5) = 2,262
- 4. k = 0,09175 min⁻¹
- 5. ymax = 2,416
- 6. ymax = 12,08
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.