1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 9,6y′ + 36y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 9,6y′ + 36y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 6 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 40 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 23 يومًا؟
m0 = 40 mgt½ = 6 dt = 23 d
m = mg
3.متوسطة
حلّ y″ + 7y′ + 12y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = -4. أوجد y(1,5).
y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 2y′(0) = -4
y(1.5) =
4.متوسطة
كوب قهوة عند 81 °C تُرك في غرفة عند 23 °C. بعد 15 min تكون درجة حرارتها 33 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 29 °C؟
T0 = 81 °CTa = 23 °CT(15) = 33 °CT = 29 °C
t = min
5.صعبة
خزان يحتوي 100 L من الماء أُذيب فيه 5 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,2 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 2 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 14 kg من الملح؟
V = 100 Lm0 = 5 kgc = 0,2 kg/Lr = 2 L/min
t = min
6.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + y/x = 6x2 لـ x > 0، مع y(1) = 5. أوجد y(3).
y′ + y/x = 6x2y(1) = 5
y(3) =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,8
- 2. m = 2,806 mg
- 3. y(1.5) = 0,03948
- 4. t = 19,36 min
- 5. t = 45,81 min
- 6. y(3) = 41,67
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.