1.سهلة
كمية تضمحلّ وفق dy/dt = −k·y مع k > 0. قيمتها 250 عند t = 0 و 200 عند t = 10 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 250y(10) = 200
k = h⁻¹
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 3,6y′ + 9y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 3,6y′ + 9y = 0
ζ =
3.متوسطة
حلّ y″ + 6y′ + 9y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = -1. أوجد y(1,5).
y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 1y′(0) = -1
y(1.5) =
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 300 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 22 °C. بعد 52 min تكون درجة حرارتها 43 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 300 °CTa = 22 °CT(52) = 43 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 2y′ + 17y = 34 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 2y′ + 17y = 34y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
حلّ y″ + 3y′ + 11,25y = 0 مع y(0) = 5 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,75)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 3y′ + 11,25y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(0.75) =
مفتاح الإجابات
- 1. k = 0,02231 h⁻¹
- 2. ζ = 0,6
- 3. y(1.5) = 0,04444
- 4. k = 0,04967 min⁻¹
- 5. ymax = 2,912
- 6. y(0.75) = −0,3882
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.