1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 3y′ + 36y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 3y′ + 36y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تضمحلّ وفق dy/dt = −k·y مع k > 0. قيمتها 100 عند t = 0 و 75 عند t = 2 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 100y(2) = 75
k = h⁻¹
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 460 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 23 °C. بعد 54 min تكون درجة حرارتها 52 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 215 °C؟
T0 = 460 °CTa = 23 °CT(54) = 52 °CT = 215 °C
t = min
4.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 5 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 25 °C. بعد 30 min تكون درجة حرارتها 21 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 5 °CTa = 25 °CT(30) = 21 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 8y = 8 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(1)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 4y′ + 8y = 8y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
6.صعبة
حلّ y′ + 2y = 8e−t مع y(0) = 1. أوجد y(0,5).
y′ + 2y = 8e−ty(0) = 1
y(0.5) =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,25
- 2. k = 0,1438 h⁻¹
- 3. t = 16,37 min
- 4. k = 0,05365 min⁻¹
- 5. y(1) = 0,9333
- 6. y(0.5) = 2,277
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.