1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 4y′ + 64y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 4y′ + 64y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تضمحلّ وفق dy/dt = −k·y مع k > 0. قيمتها 120 عند t = 0 و 54 عند t = 9 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 120y(9) = 54
k = h⁻¹
3.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 3 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 22 °C. بعد 9 min تكون درجة حرارتها 9 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 3 °CTa = 22 °CT(9) = 9 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
حلّ y″ + 8y′ + 15y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = 2. أوجد y(1,5).
y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 1y′(0) = 2
y(1.5) =
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 27,25y = 27,25 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,75)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 3y′ + 27,25y = 27,25y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 9,25y = 9,25 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + y′ + 9,25y = 9,25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,25
- 2. k = 0,08872 h⁻¹
- 3. k = 0,04217 min⁻¹
- 4. y(1.5) = 0,0375
- 5. y(0.75) = 1,322
- 6. ymax = 1,592
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.