1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 26 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 120 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 65 يومًا؟
m0 = 120 mgt½ = 26 dt = 65 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 19,2y′ + 64y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 19,2y′ + 64y = 0
ζ =
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 440 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 27 °C. بعد 51 min تكون درجة حرارتها 59 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 173 °C؟
T0 = 440 °CTa = 27 °CT(51) = 59 °CT = 173 °C
t = min
4.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 3 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 24 °C. بعد 6 min تكون درجة حرارتها 12 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 18 °C؟
T0 = 3 °CTa = 24 °CT(6) = 12 °CT = 18 °C
t = min
5.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + y/x = 2 لـ x > 0، مع y(1) = 3. أوجد y(3).
y′ + y/x = 2y(1) = 3
y(3) =
6.صعبة
حلّ y″ + y′ + 9,25y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,75)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + y′ + 9,25y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(0.75) =
مفتاح الإجابات
- 1. m = 21,21 mg
- 2. ζ = 1,2
- 3. t = 20,73 min
- 4. t = 13,43 min
- 5. y(3) = 3,667
- 6. y(0.75) = −0,3426
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.