1.سهلة
للدالة f(x, y) = −x³y³ + 4x³ − y² + 2xy، جد المشتقة الجزئية ∂f/∂x عند النقطة (1, 3).
f(x, y) = −x³y³ + 4x³ − y² + 2xyP = (1, 3)
fx(1, 3) =
ورقة عمل التفاضل والتكامل لعدة متغيرات مع الإجابات
2.سهلة
للدالة f(x, y) = −4x³y + x³ + 3y³ + xy، جد المشتقة الجزئية الثانية ∂²f/∂y² عند (2, 2).
f(x, y) = −4x³y + x³ + 3y³ + xyP = (2, 2)
fyy(2, 2) =
3.متوسطة
للدالة f(x, y) = 3xy³ − 4x³ + 2y² − xy، جد المشتقة الاتجاهية Duf عند P(−2, 3) في الاتجاه نحو Q(−4, 7).
f(x, y) = 3xy³ − 4x³ + 2y² − xyP = (−2, 3)Q = (−4, 7)
Duf =
4.متوسطة
z = sin(2x + y) مع x = 3t و y = t². استخدم قاعدة السلسلة لإيجاد dz/dt عند t = −1.
z = sin(2x + y)x = 3ty = t²t = −1
dz/dt =
5.صعبة
لا يمكن حساب التكامل I = ∫01,5 ∫x1,5 1/(1 + y²)² dy dx بهذا الترتيب. اعكس ترتيب التكامل ثم احسبه.
f = 1/(1 + y²)²0 ≤ x ≤ y ≤ 1,5
I =
6.صعبة
استخدم الإحداثيات القطبية لحساب I = ∬R √(x² + y²) dA، حيث R هي ربع القرص x² + y² ≤ 1 في الربع الأول.
f = √(x² + y²)0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ π/2
I =
مفتاح الإجابات
- 1. fx(1, 3) = −63
- 2. fyy(2, 2) = 36
- 3. Duf = −145,8
- 4. dz/dt = 1,135
- 5. I = 0,3462
- 6. I = 0,5236
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.