1.سهلة
للدالة f(x, y) = 5xy − x² − 3y³، جد المشتقة الجزئية ∂f/∂y عند النقطة (3, 2).
f(x, y) = 5xy − x² − 3y³P = (3, 2)
fy(3, 2) =
ورقة عمل التفاضل والتكامل لعدة متغيرات مع الإجابات
2.سهلة
للدالة f(x, y) = −2xy + 2x³ − 4y³، جد المشتقة الجزئية ∂f/∂x عند النقطة (3, −2).
f(x, y) = −2xy + 2x³ − 4y³P = (3, −2)
fx(3, −2) =
3.متوسطة
z = 5 sin(3x + 2y) مع x = −3t + 2 و y = t² + 2. استخدم قاعدة السلسلة لإيجاد dz/dt عند t = 2.
z = 5 sin(3x + 2y)x = −3t + 2y = t² + 2t = 2
dz/dt =
4.متوسطة
للدالة f(x, y) = xe2y، جد أقصى معدل تغير لـ f عند النقطة (0,5, 0,5)، أي |∇f|.
f(x, y) = xe2yP = (0,5, 0,5)
|∇f| =
5.صعبة
احسب I = ∬T (4x + 4y) dA على المثلث T المحدود بـ y = 0 و x = 1 و y = 0,5x.
f = 4x + 4y0 ≤ x ≤ 10 ≤ y ≤ 0,5x
I =
6.صعبة
جد النقاط الحرجة للدالة f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy، وصنّفها، وأعطِ قيمة fmin للدالة f عند نهايتها الصغرى المحلية.
f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy
fmin =
مفتاح الإجابات
- 1. fy(3, 2) = −21
- 2. fx(3, −2) = 58
- 3. dz/dt = −5
- 4. |∇f| = 3,844
- 5. I = 0,8333
- 6. fmin = −32
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.