1.سهلة
للدالة f(x, y) = x²y³ + 2x³ − 2y² − 4xy، جد المشتقة الجزئية ∂f/∂x عند النقطة (3, −1).
f(x, y) = x²y³ + 2x³ − 2y² − 4xyP = (3, −1)
fx(3, −1) =
ورقة عمل التفاضل والتكامل لعدة متغيرات مع الإجابات
2.سهلة
احسب I = ∫14 ∫02 (3x·e0,5y) dy dx على المستطيل 1 ≤ x ≤ 4، 0 ≤ y ≤ 2.
f = 3x·e0,5y1 ≤ x ≤ 40 ≤ y ≤ 2
I =
3.متوسطة
للدالة f(x, y) = −y·exy، جد أقصى معدل تغير لـ f عند النقطة (−1, 0,5)، أي |∇f|.
f(x, y) = −y·exyP = (−1, 0,5)
|∇f| =
4.متوسطة
z = 4xy² + 4x² + 5y² + 3xy مع x = 2t + 2 و y = t² + 2. استخدم قاعدة السلسلة لإيجاد dz/dt عند t = 0.
z = 4xy² + 4x² + 5y² + 3xyx = 2t + 2y = t² + 2t = 0
dz/dt =
5.صعبة
استخدم الإحداثيات القطبية لحساب I = ∬R (x² + y²) dA، حيث R هي القرص x² + y² ≤ 4.
f = x² + y²0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ 2π
I =
6.صعبة
جد النقاط الحرجة للدالة f(x, y) = x³ − 12x + y² − 2y، وصنّفها، وأعطِ قيمة fmin للدالة f عند نهايتها الصغرى المحلية.
f(x, y) = x³ − 12x + y² − 2y
fmin =
مفتاح الإجابات
- 1. fx(3, −1) = 52
- 2. I = 77,32
- 3. |∇f| = 0,3391
- 4. dz/dt = 76
- 5. I = 25,13
- 6. fmin = −17
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.