1.سهلة
للدالة f(x, y) = 2x²y² − 3x² + 2y³ − 3xy، جد المشتقة الجزئية ∂f/∂y عند النقطة (1, −1).
f(x, y) = 2x²y² − 3x² + 2y³ − 3xyP = (1, −1)
fy(1, −1) =
ورقة عمل التفاضل والتكامل لعدة متغيرات مع الإجابات
2.سهلة
للدالة f(x, y) = xy³ − 2x³ − y³ + xy، جد المشتقة الجزئية الثانية المختلطة ∂²f/∂x∂y عند (−1, −2).
f(x, y) = xy³ − 2x³ − y³ + xyP = (−1, −2)
fxy(−1, −2) =
3.متوسطة
للدالة f(x, y) = 5x³y + 2x² − y² + 4xy، جد اتجاه أشد صعود عند (1, −2) بوصفه الزاوية θ من المحور x الموجب، بالدرجات بين −180° و180°.
f(x, y) = 5x³y + 2x² − y² + 4xyP = (1, −2)
θ = °
4.متوسطة
z = −4x²y³ − 4x³ + 5y³ + 4xy مع x = t + 2 و y = t² + 2. استخدم قاعدة السلسلة لإيجاد dz/dt عند t = 1.
z = −4x²y³ − 4x³ + 5y³ + 4xyx = t + 2y = t² + 2t = 1
dz/dt =
5.صعبة
استخدم الإحداثيات القطبية لحساب I = ∬R x dA، حيث R هي ربع القرص x² + y² ≤ 4 في الربع الأول.
f = x0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ π/2
I =
6.صعبة
جد النقاط الحرجة للدالة f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy، وصنّفها، وأعطِ قيمة fmin للدالة f عند نهايتها الصغرى المحلية.
f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy
fmin =
مفتاح الإجابات
- 1. fy(1, −1) = −1
- 2. fxy(−1, −2) = 13
- 3. θ = 159,1 °
- 4. dz/dt = −2394
- 5. I = 2,667
- 6. fmin = −2
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.