1.سهلة
للدالة f(x, y) = 2 ln(x² + 4y²)، جد المشتقة الجزئية الثانية المختلطة ∂²f/∂x∂y عند (−1, −1).
f(x, y) = 2 ln(x² + 4y²)P = (−1, −1)
fxy(−1, −1) =
ورقة عمل التفاضل والتكامل لعدة متغيرات مع الإجابات
2.سهلة
للدالة f(x, y) = 3y·exy، جد المشتقة الجزئية ∂f/∂x عند النقطة (0,5, 0,5).
f(x, y) = 3y·exyP = (0,5, 0,5)
fx(0.5, 0.5) =
3.متوسطة
للدالة f(x, y) = 2x³y³ + 4x² + 2y³ + xy، جد أقصى معدل تغير لـ f عند النقطة (−1, 1)، أي |∇f|.
f(x, y) = 2x³y³ + 4x² + 2y³ + xyP = (−1, 1)
|∇f| =
4.متوسطة
z = 2x³y³ − 4x³ − y² + 4xy مع x = −2t + 2 و y = t² − 1. استخدم قاعدة السلسلة لإيجاد dz/dt عند t = −1.
z = 2x³y³ − 4x³ − y² + 4xyx = −2t + 2y = t² − 1t = −1
dz/dt =
5.صعبة
جد النقاط الحرجة للدالة f(x, y) = x² + 3xy + 3y² + 3y + 2، وصنّفها، وأعطِ قيمة fmin للدالة f عند نهايتها الصغرى المحلية.
f(x, y) = x² + 3xy + 3y² + 3y + 2
fmin =
6.صعبة
جد النقاط الحرجة للدالة f(x, y) = −x³ + 12x − y² + 6y، وصنّفها، وأعطِ قيمة fmax للدالة f عند نهايتها العظمى المحلية.
f(x, y) = −x³ + 12x − y² + 6y
fmax =
مفتاح الإجابات
- 1. fxy(−1, −1) = −1,28
- 2. fx(0.5, 0.5) = 0,963
- 3. |∇f| = 1,414
- 4. dz/dt = 352
- 5. fmin = −1
- 6. fmax = 25
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.