ورقة عمل التفاضل والتكامل لعدة متغيرات مع الإجابات

احسب I = ∫₁³ ∫₁⁴ (6xy² − 3) dy dx على المستطيل 1 ≤ x ≤ 3، 1 ≤ y ≤ 4.

للدالة f(x, y) = x²e^−y، جد المشتقة الجزئية ∂f/∂x عند النقطة (−1, 0).

يمكن كتابة المستوى المماس لـ z = sin(3x − y) عند النقطة (x, y) = (1, 0,5) بالشكل z = px + qy + c. جد c.

للدالة f(x, y) = 3 sin(x − 2y)، جد المشتقة الاتجاهية D_uf عند P(0,5, −1) في الاتجاه نحو Q(−1,5, −4).

جد النقاط الحرجة للدالة f(x, y) = x³ − 12x + y² − 6y، وصنّفها، وأعطِ قيمة f_min للدالة f عند نهايتها الصغرى المحلية.

لا يمكن حساب التكامل I = ∫₀^1,2 ∫_y^1,2 e^x² dx dy بهذا الترتيب. اعكس ترتيب التكامل ثم احسبه.