1.سهلة
للدالة f(x, y) = 3 ln(x² + 3y²)، جد المشتقة الجزئية الثانية المختلطة ∂²f/∂x∂y عند (0,5, 2).
f(x, y) = 3 ln(x² + 3y²)P = (0,5, 2)
fxy(0.5, 2) =
ورقة عمل التفاضل والتكامل لعدة متغيرات مع الإجابات
2.سهلة
للدالة f(x, y) = 3x²e−y، جد المشتقة الجزئية الثانية المختلطة ∂²f/∂x∂y عند (−1, −1).
f(x, y) = 3x²e−yP = (−1, −1)
fxy(−1, −1) =
3.متوسطة
للدالة f(x, y) = −4xy² + 3x² + 4xy، جد أقصى معدل تغير لـ f عند النقطة (1, −2)، أي |∇f|.
f(x, y) = −4xy² + 3x² + 4xyP = (1, −2)
|∇f| =
4.متوسطة
z = −2x²y² − 5x³ + 2y² + 2xy مع x = −t و y = t². استخدم قاعدة السلسلة لإيجاد dz/dt عند t = 1.
z = −2x²y² − 5x³ + 2y² + 2xyx = −ty = t²t = 1
dz/dt =
5.صعبة
للدالة f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy نقطة حرجة عند (−1, −1). احسب المميِّز D = fxxfyy − fxy² هناك.
f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xyP = (−1, −1)
D =
6.صعبة
لا يمكن حساب التكامل I = ∫02 ∫x2 sin(y²) dy dx بهذا الترتيب. اعكس ترتيب التكامل ثم احسبه.
f = sin(y²)0 ≤ x ≤ y ≤ 2
I =
مفتاح الإجابات
- 1. fxy(0.5, 2) = −0,2399
- 2. fxy(−1, −1) = 16,31
- 3. |∇f| = 26,91
- 4. dz/dt = 5
- 5. D = 128
- 6. I = 0,8268
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.