1.سهلة
للدالة f(x, y) = 3x²e−y، جد المشتقة الجزئية ∂f/∂y عند النقطة (2, 0).
f(x, y) = 3x²e−yP = (2, 0)
fy(2, 0) =
ورقة عمل التفاضل والتكامل لعدة متغيرات مع الإجابات
2.سهلة
احسب I = ∫13 ∫12 (5x²y²) dy dx على المستطيل 1 ≤ x ≤ 3، 1 ≤ y ≤ 2.
f = 5x²y²1 ≤ x ≤ 31 ≤ y ≤ 2
I =
3.متوسطة
للدالة f(x, y) = 2 ln(x² + 4y²)، جد أقصى معدل تغير لـ f عند النقطة (−1, 1)، أي |∇f|.
f(x, y) = 2 ln(x² + 4y²)P = (−1, 1)
|∇f| =
4.متوسطة
للدالة f(x, y) = 3xy³ − 4x² − 4y² − xy، جد المشتقة الاتجاهية Duf عند P(3, 1) في الاتجاه نحو Q(5, 1).
f(x, y) = 3xy³ − 4x² − 4y² − xyP = (3, 1)Q = (5, 1)
Duf =
5.صعبة
جد النقاط الحرجة للدالة f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy، وصنّفها، وأعطِ قيمة fmin للدالة f عند نهايتها الصغرى المحلية.
f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy
fmin =
6.صعبة
استخدم الإحداثيات القطبية لحساب I = ∬R e−(x² + y²) dA، حيث R هي الحلقة 0,25 ≤ x² + y² ≤ 2,25.
f = e−(x² + y²)0,5 ≤ r ≤ 1,50 ≤ θ ≤ 2π
I =
مفتاح الإجابات
- 1. fy(2, 0) = −12
- 2. I = 101,1
- 3. |∇f| = 3,298
- 4. Duf = −22
- 5. fmin = −2
- 6. I = 2,116
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.