1.سهلة
للدالة f(x, y) = 2 ln(x² + y²)، جد المشتقة الجزئية الثانية المختلطة ∂²f/∂x∂y عند (−1, −1).
f(x, y) = 2 ln(x² + y²)P = (−1, −1)
fxy(−1, −1) =
ورقة عمل التفاضل والتكامل لعدة متغيرات مع الإجابات
2.سهلة
احسب I = ∫14 ∫23 (−3y − 4) dy dx على المستطيل 1 ≤ x ≤ 4، 2 ≤ y ≤ 3.
f = −3y − 41 ≤ x ≤ 42 ≤ y ≤ 3
I =
3.متوسطة
للدالة f(x, y) = 4xy³ − 5x³ + 4y³ + 4xy، جد أقصى معدل تغير لـ f عند النقطة (−1, 3)، أي |∇f|.
f(x, y) = 4xy³ − 5x³ + 4y³ + 4xyP = (−1, 3)
|∇f| =
4.متوسطة
z = xy³ − 3x² − 2y² + 2xy مع x = −3t − 2 و y = −2t² − 2. استخدم قاعدة السلسلة لإيجاد dz/dt عند t = −1.
z = xy³ − 3x² − 2y² + 2xyx = −3t − 2y = −2t² − 2t = −1
dz/dt =
5.صعبة
لا يمكن حساب التكامل I = ∫02 ∫y2 1/(1 + x²)² dx dy بهذا الترتيب. اعكس ترتيب التكامل ثم احسبه.
f = 1/(1 + x²)²0 ≤ y ≤ x ≤ 2
I =
6.صعبة
للدالة f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy نقطة حرجة عند (1, 1). احسب المميِّز D = fxxfyy − fxy² هناك.
f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xyP = (1, 1)
D =
مفتاح الإجابات
- 1. fxy(−1, −1) = −2
- 2. I = −34,5
- 3. |∇f| = 105,1
- 4. dz/dt = 498
- 5. I = 0,4
- 6. D = 128
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.