1.سهلة
للدالة f(x, y) = 3 ln(x² + 2y²)، جد المشتقة الجزئية ∂f/∂y عند النقطة (−1, −1).
f(x, y) = 3 ln(x² + 2y²)P = (−1, −1)
fy(−1, −1) =
ورقة عمل التفاضل والتكامل لعدة متغيرات مع الإجابات
2.سهلة
احسب I = ∫24 ∫23 (5y) dy dx على المستطيل 2 ≤ x ≤ 4، 2 ≤ y ≤ 3.
f = 5y2 ≤ x ≤ 42 ≤ y ≤ 3
I =
3.متوسطة
z = 2 sin(x + 2y) مع x = −t + 2 و y = t² − 1. استخدم قاعدة السلسلة لإيجاد dz/dt عند t = 1.
z = 2 sin(x + 2y)x = −t + 2y = t² − 1t = 1
dz/dt =
4.متوسطة
z = −3xy − 5x³ + 2y² مع x = −3t − 1 و y = −2t² − 2. استخدم قاعدة السلسلة لإيجاد dz/dt عند t = 1.
z = −3xy − 5x³ + 2y²x = −3t − 1y = −2t² − 2t = 1
dz/dt =
5.صعبة
جد النقاط الحرجة للدالة f(x, y) = x³ − 12x + y² + 2y، وصنّفها، وأعطِ قيمة fmin للدالة f عند نهايتها الصغرى المحلية.
f(x, y) = x³ − 12x + y² + 2y
fmin =
6.صعبة
احسب I = ∬T (2x + 3y) dA على المثلث T المحدود بـ y = 0 و x = 1 و y = x.
f = 2x + 3y0 ≤ x ≤ 10 ≤ y ≤ x
I =
مفتاح الإجابات
- 1. fy(−1, −1) = −4
- 2. I = 25
- 3. dz/dt = 3,242
- 4. dz/dt = 700
- 5. fmin = −17
- 6. I = 1,167
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.