1.سهلة
للدالة f(x, y) = 3x²y + 4y²، جد المشتقة الجزئية الثانية ∂²f/∂x² عند (1, −2).
f(x, y) = 3x²y + 4y²P = (1, −2)
fxx(1, −2) =
ورقة عمل التفاضل والتكامل لعدة متغيرات مع الإجابات
2.سهلة
احسب I = ∫12 ∫13 (−3x²y + 3) dy dx على المستطيل 1 ≤ x ≤ 2، 1 ≤ y ≤ 3.
f = −3x²y + 31 ≤ x ≤ 21 ≤ y ≤ 3
I =
3.متوسطة
للدالة f(x, y) = 2 ln(x² + 3y²)، جد المشتقة الاتجاهية Duf عند P(0,5, −1) في الاتجاه نحو Q(−1,5, −5).
f(x, y) = 2 ln(x² + 3y²)P = (0,5, −1)Q = (−1,5, −5)
Duf =
4.متوسطة
للدالة f(x, y) = 3y·e3xy، جد أقصى معدل تغير لـ f عند النقطة (1, −1)، أي |∇f|.
f(x, y) = 3y·e3xyP = (1, −1)
|∇f| =
5.صعبة
لا يمكن حساب التكامل I = ∫01 ∫y1 1/(1 + x²)² dx dy بهذا الترتيب. اعكس ترتيب التكامل ثم احسبه.
f = 1/(1 + x²)²0 ≤ y ≤ x ≤ 1
I =
6.صعبة
جد النقاط الحرجة للدالة f(x, y) = x³ + y³ − 6xy، وصنّفها، وأعطِ قيمة fmin للدالة f عند نهايتها الصغرى المحلية.
f(x, y) = x³ + y³ − 6xy
fmin =
مفتاح الإجابات
- 1. fxx(1, −2) = −12
- 2. I = −22
- 3. Duf = 3,027
- 4. |∇f| = 0,5385
- 5. I = 0,25
- 6. fmin = −8
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.