1.سهلة
للدالة f(x, y) = 2xy³ − 4x² − 4y²، جد المشتقة الجزئية الثانية ∂²f/∂x² عند (−1, 1).
f(x, y) = 2xy³ − 4x² − 4y²P = (−1, 1)
fxx(−1, 1) =
ورقة عمل التفاضل والتكامل لعدة متغيرات مع الإجابات
2.سهلة
للدالة f(x, y) = 2 sin(x + y)، جد المشتقة الجزئية الثانية المختلطة ∂²f/∂x∂y عند (1, 2).
f(x, y) = 2 sin(x + y)P = (1, 2)
fxy(1, 2) =
3.متوسطة
للدالة f(x, y) = −x³y² − 4y³ + xy، جد اتجاه أشد صعود عند (1, 1) بوصفه الزاوية θ من المحور x الموجب، بالدرجات بين −180° و180°.
f(x, y) = −x³y² − 4y³ + xyP = (1, 1)
θ = °
4.متوسطة
z = 2x²y³ + 2x³ − 5y³ + 3xy مع x = 3t − 1 و y = −2t² + 2. استخدم قاعدة السلسلة لإيجاد dz/dt عند t = 1.
z = 2x²y³ + 2x³ − 5y³ + 3xyx = 3t − 1y = −2t² + 2t = 1
dz/dt =
5.صعبة
استخدم الإحداثيات القطبية لحساب I = ∬R √(x² + y²) dA، حيث R هي القرص x² + y² ≤ 4.
f = √(x² + y²)0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ 2π
I =
6.صعبة
جد النقاط الحرجة للدالة f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy، وصنّفها، وأعطِ قيمة fmin للدالة f عند نهايتها الصغرى المحلية.
f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy
fmin =
مفتاح الإجابات
- 1. fxx(−1, 1) = −8
- 2. fxy(1, 2) = −0,2822
- 3. θ = −98,75 °
- 4. dz/dt = 48
- 5. I = 16,76
- 6. fmin = −2
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.