ورقة عمل الاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذور مع الإجابات

لكثير الحدود المميِّز Q(s) = s³ + 2s² + 10s + 24، أوجد عنصر العمود الأول b₁ في الصف s¹ من جدول راوث.

المعادلة المميِّزة لحلقة مغلقة هي s³ + a·s² + 3s + 24 = 0. أوجد قيمة a التي يكون النظام فوقها مستقرًا.

للمحطة G(s) = (s + 10)/((s − 1)(s + 3)) قطب غير مستقر عند s = 1. يغلق كسب تناسبي K حلقة تغذية عكسية وحدوية حولها. أوجد أصغر كسب K_min يجعل الحلقة المغلقة مستقرة.

لحلقة تغذية عكسية وحدوية L(s) = K(s + 11)/(s(s + 2)(s + 4)) مع K > 0. أوجد أكبر كسب K_max تكون الحلقة المغلقة عنده مستقرة.

لحلقة L(s) = K/(s(s + 4)(s + 5))، أوجد الكسب K الذي يضع قطبًا للحلقة المغلقة عند s = −1,5.

لـ L(s) = K/((s + 8)(s² + 8s + 25))، أوجد زاوية المغادرة θ_d للمحل الهندسي للجذور من القطب المركّب في النصف العلوي من المستوى، مقيسة من المحور الحقيقي الموجب.