Investition und Finanzierung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Break-even-Analyse

Deckungsbeitrag: CM = p − v
Break-even-Menge: Q_BE = FC/(p − v)
Zielgewinn: Q = (FC + profit)/(p − v)
Gewinn: π = (p − v)·Q − FC
Sicherheitsabstand: (Q − Q_BE)/Q

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Eine Immobilie soll im nächsten Jahr eine Nettomiete von €2 000 erzielen. Die Miete soll für immer um 3 % pro Jahr wachsen. Die geforderte Rendite beträgt 9 % pro Jahr. Bestimme den heutigen Wert PV der Immobilie.

C₁ = €2 000g = 3%r = 9%

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du sparst 8 Jahre lang am Ende jedes Monats €250. Das Konto bringt 6 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel hast du am Ende gespart? Bestimme FV.

A = €2506% / 12N = 96

FV = €

3.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Maschine kostet heute €60 000. Sie erwirtschaftet 5 Jahre lang am Ende jedes Jahres €14 500 und kann danach für €12 000 verkauft werden. Die Kapitalkosten betragen 6 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

C₀ = €60 000CF = €14 500S = €12 000n = 5r = 6%

NPV = €

4.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €10 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €5 500, €7 000, €6 000. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 500CF₂ = 7 000CF₃ = 6 000

IRR = %

5.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 wird in 13 Jahren fällig und zahlt jährliche Kupons. Sie wird bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 7% für €916 verkauft. Bestimme den Kuponsatz c in Prozent.

F = €1 000n = 13P = €916YTM = 7%

c = %

6.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 2% und wird in 4 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 3,5%. Bestimme die Macaulay-Duration D in Jahren.

F = €1 000Kuponsatz = 2%n = 4YTM = 3,5%

D = Jahre

7.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat einen Verschuldungsgrad (zu Marktwerten) von D/E = 0,5. Seine Eigenkapitalkosten betragen 11%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 4,5% und der Steuersatz 28%. Bestimme den WACC.

D/E = 0,5r_e = 11%r_d = 4,5%T = 28%

WACC = %

8.CAPM & WACCSchwer

Die Aktien eines Unternehmens haben beim aktuellen Verschuldungsgrad D/E von 0,25 ein Beta von 1,4. Es plant, den Verschuldungsgrad auf 1,5 zu erhöhen. Der Steuersatz beträgt 25%, der risikolose Zinssatz 1% und die Marktrisikoprämie 6%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e nach der Änderung.

β_L = 1,4D/E₁ = 0,25D/E₂ = 1,5T = 25%r_f = 1%r_m − r_f = 6%

r_e = %

9.Break-even-AnalyseMittel

Ein Produkt wird für €12 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €6 pro Stück. Die Fixkosten betragen €15 000 pro Monat. Wie viele Stück Q müssen pro Monat verkauft werden, um einen Gewinn von €6 000 zu erzielen?

F = €15 000p = €12v = €6Gewinn = €6 000

Q = Stück

10.Break-even-AnalyseSchwer

Ein Produkt wird für €30 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €15 pro Stück und Fixkosten von €18 000 pro Jahr. Geplant ist ein Absatz von 1 440 Stück. Bestimme den Sicherheitsabstand MS in Prozent des geplanten Absatzes.

F = €18 000p = €30v = €15Plan = 1 440

MS = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 33333 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Wachsende ewige Rente

PV = C₁/(r − g) = 2 000/(0,09 − 0,03) = 2 000/0,06 = €33 333,33

Antwort

PV = €33 333,33

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 30707 €

Monatszins und Anzahl der Einzahlungen

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·8 = 96

Endwert der Einzahlungen

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(1,614 − 1)/0,005 = €30 707,14

Antwort

FV = €30 707,14

Du hast selbst €24 000 eingezahlt; der Rest sind Zinsen.

3.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 10046 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert der jährlichen Zahlungen

14 500·4,212 = 61 079,27

Barwert des Restwerts

12 000/1,338 = 8 967,10

NPV

NPV = −60 000 + 61 079,27 + 8 967,10 = €10 046,37

Antwort

NPV = €10 046,37

4.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 37,58 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(35%) = 353,60

NPV(40%) = −313,41

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 35 + 5·353,60/(353,60 − (−313,41)) = 37,65%

exakt: NPV(37,58%) = 0 → IRR = 37,58%

Antwort

IRR = 37,58%

5.Anleihekurs & Rendite

Antwort: c = 5,995 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Barwert des Nennwerts

1000·(1 + 0,07)⁻¹³ = €414,96

Kupon

C = (916 − 414,96)/8,358 = €59,95

Kuponsatz

c = 59,95/1000 = 5,995%

Antwort

c = 5,995%

6.Anleihekurs & Rendite

Antwort: D = 3,88 Jahre

Duration: Die Macaulay-Duration ist der gewichtete mittlere Zeitpunkt, zu dem eine Anleihe ihre Zahlungen leistet, mit den Barwerten der Zahlungen als Gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. Die modifizierte Duration D/(1 + y) schätzt die prozentuale Kursänderung bei einer kleinen Renditeänderung: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Barwert jeder Zahlung

t = 1: 20/1,035 = 19,32, t·PV = 19,32

t = 2: 20/1,071 = 18,67, t·PV = 37,34

t = 3: 20/1,109 = 18,04, t·PV = 54,12

t = 4: 1020/1,148 = 888,87, t·PV = 3 555,48

Duration

P = 944,90

D = 3 666,26/944,90 = 3,88

Antwort

D = 3,88 Jahre

7.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 8,413 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte aus D/E

E/V = 1/(1 + 0,5) = 0,6667

D/V = 0,5/(1 + 0,5) = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·11% + 0,3333·4,5%·(1 − 0,28) = 8,413%

Antwort

WACC = 8,413%

8.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 16,03 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Das Beta entschulden

β_U = 1,4/(1 + 0,75·0,25) = 1,179

Beim neuen D/E wieder verschulden

β_L = 1,179·(1 + 0,75·1,5) = 2,505

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 1% + 2,505·6% = 16,03%

Antwort

r_e = 16,03%

9.Break-even-Analyse

Antwort: Q = 3500 Stück

Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).

Deckungsbeitrag pro Stück

p − v = 12 − 6 = €6

Menge für den Zielgewinn

Q = (F + Gewinn)/(p − v) = (15 000 + 6 000)/6 = 3 500

Antwort

Q = 3 500 Stück

10.Break-even-Analyse

Antwort: MS = 16,67 %

Break-even-Menge

Q = F/(p − v) = 18 000/15 = 1 200

Sicherheitsabstand

MS = (1 440 − 1 200)/1 440·100 = 16,67%

Antwort

MS = 16,67%

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