Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Du brauchst €20 000 in 3 Jahren. Ein Konto bringt 4 % pro Jahr bei vierteljährlicher Verzinsung. Wie viel musst du heute einzahlen? Bestimme den Barwert PV.
Eine Hypothek von €250 000 wird über 25 Jahre mit gleichen Monatsraten bei 4,2 % pro Jahr und monatlicher Verzinsung getilgt. Wie viel ist direkt nach der Rate am Ende von Jahr 12 noch geschuldet? Bestimme die Restschuld B.
Ein Projekt kostet heute €50 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 6 jeweils €15 000, €14 000, €16 000, €17 000, €21 500, €16 000. Die Kapitalkosten betragen 6 %. Nimm an, dass die Zahlungen gleichmäßig über jedes Jahr eingehen. Bestimme die dynamische Amortisationsdauer DPB in Jahren.
Ein Projekt kostet €25 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 2 €12 500, €17 000. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.
Du kaufst eine Anleihe mit 11 Jahren Restlaufzeit (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 4%), wenn ihre Rendite bis zur Fälligkeit 6% beträgt. Ein Jahr später, direkt nach Erhalt des ersten Kupons, verkaufst du sie bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 5%. Bestimme deine Haltedauerrendite HPR in Prozent.
Eine Anleihe notiert bei €1 010 mit einer Rendite bis zur Fälligkeit von 3% (jährliche Verzinsung) und einer Macaulay-Duration von 6,1 Jahren. Schätze mit der modifizierten Duration den neuen Kurs P, wenn die Rendite um 75 Basispunkte steigt.
Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €10 000 000 und Fremdkapital im Wert von €6 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 8%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 4% und der Steuersatz 28%. Bestimme den WACC.
Ein Unternehmen hat 4 000 000 Aktien zu je €52,50 und 10 000 Anleihen mit einem Kurs von je €1 020. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 7% und der Steuersatz 28%. Das Beta der Aktie ist 0,9, der risikofreie Zinssatz 4% und die Marktrendite 11%. Bestimme den WACC.
Ein Produkt wird für €24 verkauft, bei variablen Kosten von €20 pro Stück. Die Fixkosten betragen €10 000 pro Monat, und der Gewinn wird mit 25 % besteuert. Wie viele Stück Q müssen pro Monat verkauft werden, um nach Steuern €3 000 zu verdienen?
Ein Unternehmen verkauft 6 250 Stück zu je €20, mit variablen Kosten von €12 pro Stück und Fixkosten von €20 000. Um wie viel Prozent %ΔΠ ändert sich das Betriebsergebnis, wenn die Absatzmenge um 5 % sinkt?
Antwort: PV = 17749 €
Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)n. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.
Antwort: B = 161754 €
Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)n. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.
Was noch geschuldet wird, muss genau durch die verbleibenden Raten getilgt werden.
Antwort: DPB = 3,739 Jahre
Amortisationsdauer: die Zeit, bis die kumulierten Zahlungsüberschüsse die Anfangsinvestition zurückgezahlt haben. Man nimmt an, dass das Geld gleichmäßig über jedes Jahr eingeht, der letzte Teil ist also ein Bruchteil eines Jahres. Die statische Amortisationsdauer vernachlässigt den Zeitwert des Geldes; die dynamische Amortisationsdauer verwendet stattdessen die abgezinsten Zahlungen.
Die dynamische Amortisationsdauer ist immer länger als die statische (3,294 Jahre).
Antwort: IRR = 11,17 %
Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.
Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.
Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.
Antwort: HPR = 14,31 %
Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.
Antwort: P = 965,1 €
Duration: Die Macaulay-Duration ist der gewichtete mittlere Zeitpunkt, zu dem eine Anleihe ihre Zahlungen leistet, mit den Barwerten der Zahlungen als Gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. Die modifizierte Duration D/(1 + y) schätzt die prozentuale Kursänderung bei einer kleinen Renditeänderung: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Die Duration ist eine lineare Schätzung; bei großen Renditeänderungen macht die Konvexität den tatsächlichen Kurs etwas höher.
Antwort: WACC = 6,08 %
Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: re = rf + β·(rm − rf). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).
Antwort: WACC = 10,06 %
Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: re = rf + β·(rm − rf). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).
Antwort: Q = 3500 Stück
Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).
Antwort: %ΔΠ = −8,333 %
Operating Leverage: Fixkosten lassen den Gewinn stärker reagieren als den Umsatz. Der Grad der operativen Hebelwirkung DOL = Deckungsbeitrag/Betriebsergebnis gibt an, dass eine Absatzänderung von 1 % den Gewinn um DOL % ändert. Er ist knapp über der Gewinnschwelle sehr hoch und sinkt mit wachsendem Absatz.
Probe: neuer Gewinn = 5 938·8 − 20 000 = €27 500,00.
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