Investition und Finanzierung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Break-even-Analyse

Deckungsbeitrag: CM = p − v
Break-even-Menge: Q_BE = FC/(p − v)
Zielgewinn: Q = (FC + profit)/(p − v)
Gewinn: π = (p − v)·Q − FC
Sicherheitsabstand: (Q − Q_BE)/Q

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du brauchst €25 000 in 4 Jahren. Ein Konto bringt 5 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel musst du heute einzahlen? Bestimme den Barwert PV.

FV = €25 0005% / 12n = 4

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du leihst dir €15 000 zu 5,4 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung und zahlst am Ende jedes Monats €675 zurück. Wie viele Monate dauert es, bis das Darlehen getilgt ist (die letzte Rate darf kleiner sein)? Gib die Anzahl der Raten N an.

P = €15 000A = €6755,4% / 12

N = Raten

3.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €60 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 diese Zahlungen: €26 000, €27 000, €18 000, €28 000. Die Kapitalkosten betragen 6 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 6%CF₀ = −60 000CF₁ = 26 000CF₂ = 27 000CF₃ = 18 000CF₄ = 28 000

NPV = €

4.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €10 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 jeweils €4 500, €3 500, €5 500. Die Zahlungen können zu den Kapitalkosten von 12 % wieder angelegt werden. Bestimme den modifizierten internen Zinsfuß MIRR in Prozent.

r = 12%CF₀ = −10 000CF₁ = 4 500CF₂ = 3 500CF₃ = 5 500

MIRR = %

5.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 wird in 13 Jahren fällig und zahlt jährliche Kupons. Sie wird bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 3,5% für €1 155 verkauft. Bestimme den Kuponsatz c in Prozent.

F = €1 000n = 13P = €1 155YTM = 3,5%

c = %

6.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 6% wird in 6 Jahren fällig und kostet €885. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 6%n = 6P = €885

YTM = %

7.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €5 000 000 und Fremdkapital im Wert von €3 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 11%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 3,5% und der Steuersatz 28%. Bestimme den WACC.

E = €5 000 000D = €3 000 000r_e = 11%r_d = 3,5%T = 28%

WACC = %

8.CAPM & WACCSchwer

Das Geschäft eines Unternehmens hat ein unverschuldetes Beta (Asset-Beta) von 1. Es plant einen Verschuldungsgrad D/E von 0,5. Der Steuersatz beträgt 25,8%, der risikolose Zinssatz 3% und die Marktrisikoprämie 4%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e bei der neuen Kapitalstruktur.

β_U = 1D/E = 0,5T = 25,8%r_f = 3%r_m − r_f = 4%

r_e = %

9.Break-even-AnalyseMittel

Ein Produkt wird für €30 verkauft, bei variablen Kosten von €20 pro Stück. Die Fixkosten betragen €20 000 pro Monat, und der Gewinn wird mit 20 % besteuert. Wie viele Stück Q müssen pro Monat verkauft werden, um nach Steuern €6 000 zu verdienen?

p = €30v = €20F = €20 000T = 20%Gewinn nach Steuern = €6 000

Q = Stück

10.Break-even-AnalyseSchwer

Ein Produkt wird für €38 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €30 pro Stück und Fixkosten von €6 400 pro Jahr. Geplant ist ein Absatz von 920 Stück. Bestimme den Sicherheitsabstand MS in Prozent des geplanten Absatzes.

F = €6 400p = €38v = €30Plan = 920

MS = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 20477 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = 0,05/12 = 0,004167

N = 12·4 = 48

Barwert

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1,221 = €20 476,78

Antwort

PV = €20 476,78

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: N = 24 Raten

Die Rentenformel umstellen

i = 0,0045

(1 + i)^−N = 1 − 15 000·0,0045/675 = 0,9

Mit Logarithmen lösen

N = −ln(0,9)/ln(1,004) = 23,47

Auf ganze Raten aufrunden

23 volle Raten lassen eine kleine Restschuld, die die letzte, kleinere Rate tilgt.

N = 24

Antwort

N = 24 Raten

3.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 25850 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 26 000/1,06 = 24 528,30

CF₂/(1 + 0,06)² = 27 000/1,124 = 24 029,90

CF₃/(1 + 0,06)³ = 18 000/1,191 = 15 113,15

CF₄/(1 + 0,06)⁴ = 28 000/1,262 = 22 178,62

Addieren

NPV = €25 849,98

Antwort

NPV = €25 849,98

Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.

4.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: MIRR = 14,64 %

Modifizierter interner Zinsfuß: Zinse jede Einzahlung mit dem Wiederanlagezins (meist den Kapitalkosten) bis zum Projektende auf, um den Endwert TV zu erhalten. Der MIRR ist der Zinssatz, der die Anfangsinvestition in TV überführt: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Endwert der Einzahlungen

4 500·1,12² = 5 644,80

3 500·1,12¹ = 3 920,00

5 500·1,12⁰ = 5 500,00

TV = 15 064,80

MIRR

MIRR = (15 064,80/10 000)^1/3 − 1 = 14,64%

Antwort

MIRR = 14,64%

5.Anleihekurs & Rendite

Antwort: c = 5,004 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Barwert des Nennwerts

1000·(1 + 0,035)⁻¹³ = €639,40

Kupon

C = (1155 − 639,40)/10,3 = €50,04

Kuponsatz

c = 50,04/1000 = 5,004%

Antwort

c = 5,004%

6.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 8,528 %

Gleichung für die Rendite

€885 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

Numerisch lösen

P(8%) = €907,54, P(9%) = €865,42

YTM = 8,528%

Antwort

YTM = 8,528%

7.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 7,82 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €8 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375

WACC

WACC = 0,625·11% + 0,375·3,5%·(1 − 0,28) = 7,82%

Antwort

WACC = 7,82%

8.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 8,484 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Verschuldetes Beta

β_L = 1·(1 + 0,742·0,5) = 1,371

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 3% + 1,371·4% = 8,484%

Antwort

r_e = 8,484%

9.Break-even-Analyse

Antwort: Q = 2750 Stück

Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).

Nötiger Gewinn vor Steuern

6 000/(1 − 0,2) = €7 500

Benötigte Stückzahl

Q = (20 000 + 7 500)/10 = 2 750

Antwort

Q = 2 750 Stück

10.Break-even-Analyse

Antwort: MS = 13,04 %

Break-even-Menge

Q = F/(p − v) = 6 400/8 = 800

Sicherheitsabstand

MS = (920 − 800)/920·100 = 13,04%

Antwort

MS = 13,04%

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