Investition und Finanzierung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Break-even-Analyse

Deckungsbeitrag: CM = p − v
Break-even-Menge: Q_BE = FC/(p − v)
Zielgewinn: Q = (FC + profit)/(p − v)
Gewinn: π = (p − v)·Q − FC
Sicherheitsabstand: (Q − Q_BE)/Q

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Eine Immobilie soll im nächsten Jahr eine Nettomiete von €20 000 erzielen. Die Miete soll für immer um 2,5 % pro Jahr wachsen. Die geforderte Rendite beträgt 6,5 % pro Jahr. Bestimme den heutigen Wert PV der Immobilie.

C₁ = €20 000g = 2,5%r = 6,5%

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du möchtest in 9 Jahren €100 000 haben. Du sparst am Ende jedes Monats denselben Betrag auf einem Konto mit 3,6 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Bestimme die monatliche Einzahlung A.

FV = €100 0003,6% / 12N = 108

A = €

3.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Ein Projekt kostet heute €400 000. Es erwirtschaftet am Ende des ersten Jahres €48 000, danach wächst der Zahlungsüberschuss für immer um 2 % pro Jahr. Die Kapitalkosten betragen 12 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

C₀ = €400 000CF₁ = €48 000g = 2%r = 12%

NPV = €

4.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Projekt A kostet €20 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 jeweils €11 500, €7 500, €4 000. Projekt B kostet €25 000 und bringt €6 500, €9 500, €13 000. Bestimme den Schnittpunktzins (Fisher-Zins) r*, bei dem beide Projekte denselben Kapitalwert haben, in Prozent.

A: −20 000, 11 500, 7 500, 4 000B: −25 000, 6 500, 9 500, 13 000

r* = %

5.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 4% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 8 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 3% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 4%YTM = 3%n = 8

P = €

6.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 3% wird in 5 Jahren fällig und kostet €1 070. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 3%n = 5P = €1 070

YTM = %

7.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen ist finanziert mit Stammaktien im Wert von €6 000 000, Vorzugsaktien im Wert von €500 000 und Fremdkapital im Wert von €3 000 000. Die Eigenkapitalkosten betragen 13%, die Kosten der Vorzugsaktien 6% und die Fremdkapitalkosten vor Steuern 5%. Der Steuersatz beträgt 21%. Bestimme den WACC.

E = €6 000 000P_s = €500 000D = €3 000 000r_e = 13%r_p = 6%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

8.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 1 000 000 Aktien zu je €31,00 und 10 000 Anleihen mit einem Kurs von je €980. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 4% und der Steuersatz 20%. Das Beta der Aktie ist 0,9, der risikofreie Zinssatz 2,5% und die Marktrendite 8%. Bestimme den WACC.

β = 0,9r_f = 2,5%r_m = 8%r_d = 4%T = 20%

WACC = %

9.Break-even-AnalyseMittel

Ein Produkt wird für €33 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €25 pro Stück. Die Fixkosten betragen €9 600 pro Monat. Wie viele Stück Q müssen pro Monat verkauft werden, um einen Gewinn von €5 000 zu erzielen?

F = €9 600p = €33v = €25Gewinn = €5 000

Q = Stück

10.Break-even-AnalyseSchwer

Ein Produkt wird für €30 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €18 pro Stück und Fixkosten von €14 400 pro Jahr. Geplant ist ein Absatz von 1 680 Stück. Bestimme den Sicherheitsabstand MS in Prozent des geplanten Absatzes.

F = €14 400p = €30v = €18Plan = 1 680

MS = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 500000 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Wachsende ewige Rente

PV = C₁/(r − g) = 20 000/(0,065 − 0,025) = 20 000/0,04 = €500 000,00

Antwort

PV = €500 000,00

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: A = 785,4 €

Monatszins und Anzahl der Einzahlungen

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·9 = 108

Einzahlung

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 100 000·0,003/(1,382 − 1) = €785,39

Antwort

A = €785,39

3.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 80000 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Wert der Zahlungen

PV = 48 000/(0,12 − 0,02) = 480 000,00

NPV

NPV = 480 000,00 − 400 000 = €80 000,00

Antwort

NPV = €80 000,00

Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.

4.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: r* = 4,193 %

Schnittpunktzins (Fisher-Zins): der Kalkulationszins, bei dem zwei Projekte denselben Kapitalwert haben. Er ist der interne Zinsfuß der Differenz ihrer Zahlungen (B − A). Darunter hat das Projekt mit den späteren, größeren Zahlungen den höheren Kapitalwert; darüber gewinnt das andere.

Differenz der Zahlungen

ΔCF₀ = −25 000 − (−20 000) = −5 000

ΔCF₁ = 6 500 − 11 500 = −5 000

ΔCF₂ = 9 500 − 7 500 = 2 000

ΔCF₃ = 13 000 − 4 000 = 9 000

Interner Zinsfuß der Differenz

NPV_Δ(4%) = 42,39

NPV_Δ(5%) = −173,31

r* = 4,193%

Antwort

r* = 4,193%

Probe: Bei 4,193% betragen beide Kapitalwerte €1 481,87.

5.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 1071 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €20,00, i = 0,015, N = 16

Barwert der Kupons

€20,00·(1 − 0,788)/0,015 = €282,63

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,788 = €788,03

Kurs

P = €1 070,66

Antwort

P = €1 070,66

Die Rendite liegt unter dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe über pari.

6.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 1,535 %

Gleichung für die Rendite

€1 070 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

Numerisch lösen

P(1%) = €1 097,07, P(2%) = €1 047,13

YTM = 1,535%

Antwort

YTM = 1,535%

7.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 9,774 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = 6 000 000 + 500 000 + 3 000 000 = €9 500 000

E/V = 0,6316, P_s/V = 0,05263, D/V = 0,3158

WACC

WACC = 0,6316·13% + 0,05263·6% + 0,3158·5%·(1 − 0,21) = 9,774%

Antwort

WACC = 9,774%

8.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 6,429 %

Marktwerte

E = 1 000 000·€31,00 = €31 000 000

D = 10 000·€980 = €9 800 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 2,5% + 0,9·5,5% = 7,45%

Gewichte

V = €40 800 000, E/V = 0,7598, D/V = 0,2402

WACC

WACC = 0,7598·7,45% + 0,2402·4%·(1 − 0,2) = 6,429%

Antwort

WACC = 6,429%

9.Break-even-Analyse

Antwort: Q = 1825 Stück

Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).

Deckungsbeitrag pro Stück

p − v = 33 − 25 = €8

Menge für den Zielgewinn

Q = (F + Gewinn)/(p − v) = (9 600 + 5 000)/8 = 1 825

Antwort

Q = 1 825 Stück

10.Break-even-Analyse

Antwort: MS = 28,57 %

Break-even-Menge

Q = F/(p − v) = 14 400/12 = 1 200

Sicherheitsabstand

MS = (1 680 − 1 200)/1 680·100 = 28,57%

Antwort

MS = 28,57%

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