Investition und Finanzierung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Break-even-Analyse

Deckungsbeitrag: CM = p − v
Break-even-Menge: Q_BE = FC/(p − v)
Zielgewinn: Q = (FC + profit)/(p − v)
Gewinn: π = (p − v)·Q − FC
Sicherheitsabstand: (Q − Q_BE)/Q

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €10 000 zu 4 % pro Jahr bei stetiger Verzinsung an. Bestimme den Wert FV nach 16 Jahren.

PV = €10 000r = 4%t = 16

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du sparst 27 Jahre lang am Ende jedes Monats €300. Das Konto bringt 7,2 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel hast du am Ende gespart? Bestimme FV.

A = €3007,2% / 12N = 324

FV = €

3.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €20 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 diese Zahlungen: €5 000, €8 000, €6 000, €6 000. Die Kapitalkosten betragen 9 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 9%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 000CF₂ = 8 000CF₃ = 6 000CF₄ = 6 000

NPV = €

4.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €25 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 jeweils €14 500, €10 500, €10 000, €14 000. Die Zahlungen können zu den Kapitalkosten von 8 % wieder angelegt werden. Bestimme den modifizierten internen Zinsfuß MIRR in Prozent.

r = 8%CF₀ = −25 000CF₁ = 14 500CF₂ = 10 500CF₃ = 10 000CF₄ = 14 000

MIRR = %

5.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 8% und wird in 13 Jahren fällig. Ihre Rendite bis zur Fälligkeit ändert sich von 6% auf 8%. Um wie viel ΔP ändert sich der Anleihekurs?

F = €1 000Kuponsatz = 8%n = 13y₁ = 6%y₂ = 8%

ΔP = €

6.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 6% wird in 10 Jahren fällig und kostet €1 075. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 6%n = 10P = €1 075

YTM = %

7.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €10 000 000 und Fremdkapital im Wert von €1 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 11%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 6% und der Steuersatz 30%. Bestimme den WACC.

E = €10 000 000D = €1 000 000r_e = 11%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

8.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 2 500 000 Aktien zu je €34,50 und 10 000 Anleihen mit einem Kurs von je €1 020. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 6% und der Steuersatz 25%. Das Beta der Aktie ist 0,8, der risikofreie Zinssatz 1,5% und die Marktrendite 8,5%. Bestimme den WACC.

β = 0,8r_f = 1,5%r_m = 8,5%r_d = 6%T = 25%

WACC = %

9.Break-even-AnalyseMittel

Ein Produkt wird für €20 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €15 pro Stück. Die Fixkosten betragen €10 000 pro Monat. Wie viele Stück Q müssen pro Monat verkauft werden, um einen Gewinn von €2 000 zu erzielen?

F = €10 000p = €20v = €15Gewinn = €2 000

Q = Stück

10.Break-even-AnalyseSchwer

Ein Produkt wird für €26 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €20 pro Stück und Fixkosten von €30 000 pro Jahr. Geplant ist ein Absatz von 6 250 Stück. Bestimme den Sicherheitsabstand MS in Prozent des geplanten Absatzes.

F = €30 000p = €26v = €20Plan = 6 250

MS = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 18965 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Exponent

r·t = 0,04·16 = 0,64

e^0,64 = 1,896

Endwert

FV = 10 000·1,896 = €18 964,81

Antwort

FV = €18 964,81

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 297309 €

Monatszins und Anzahl der Einzahlungen

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·27 = 324

Endwert der Einzahlungen

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(6,946 − 1)/0,006 = €297 308,78

Antwort

FV = €297 308,78

Du hast selbst €97 200 eingezahlt; der Rest sind Zinsen.

3.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 204,2 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 5 000/1,09 = 4 587,16

CF₂/(1 + 0,09)² = 8 000/1,188 = 6 733,44

CF₃/(1 + 0,09)³ = 6 000/1,295 = 4 633,10

CF₄/(1 + 0,09)⁴ = 6 000/1,412 = 4 250,55

Addieren

NPV = €204,25

Antwort

NPV = €204,25

Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.

4.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: MIRR = 21,96 %

Modifizierter interner Zinsfuß: Zinse jede Einzahlung mit dem Wiederanlagezins (meist den Kapitalkosten) bis zum Projektende auf, um den Endwert TV zu erhalten. Der MIRR ist der Zinssatz, der die Anfangsinvestition in TV überführt: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Endwert der Einzahlungen

14 500·1,08³ = 18 265,82

10 500·1,08² = 12 247,20

10 000·1,08¹ = 10 800,00

14 000·1,08⁰ = 14 000,00

TV = 55 313,02

MIRR

MIRR = (55 313,02/25 000)^1/4 − 1 = 21,96%

Antwort

MIRR = 21,96%

5.Anleihekurs & Rendite

Antwort: ΔP = −177,1 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Kurs bei der alten Rendite

C = €80,00, i = 0,06, N = 13

€80,00·(1 − 0,4688)/0,06 + €1 000·0,4688 = €708,21 + €468,84 = €1 177,05

Kurs bei der neuen Rendite

C = €80,00, i = 0,08, N = 13

€80,00·(1 − 0,3677)/0,08 + €1 000·0,3677 = €632,30 + €367,70 = €1 000,00

Änderung

ΔP = 1 000,00 − 1 177,05 = −€177,05

Antwort

ΔP = −€177,05

6.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 5,027 %

Gleichung für die Rendite

€1 075 = €60·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Numerisch lösen

P(5%) = €1 077,22, P(6%) = €1 000,00

YTM = 5,027%

Antwort

YTM = 5,027%

7.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 10,38 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €11 000 000, E/V = 0,9091, D/V = 0,09091

WACC

WACC = 0,9091·11% + 0,09091·6%·(1 − 0,3) = 10,38%

Antwort

WACC = 10,38%

8.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 6,825 %

Marktwerte

E = 2 500 000·€34,50 = €86 250 000

D = 10 000·€1 020 = €10 200 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 1,5% + 0,8·7% = 7,1%

Gewichte

V = €96 450 000, E/V = 0,8942, D/V = 0,1058

WACC

WACC = 0,8942·7,1% + 0,1058·6%·(1 − 0,25) = 6,825%

Antwort

WACC = 6,825%

9.Break-even-Analyse

Antwort: Q = 2400 Stück

Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).

Deckungsbeitrag pro Stück

p − v = 20 − 15 = €5

Menge für den Zielgewinn

Q = (F + Gewinn)/(p − v) = (10 000 + 2 000)/5 = 2 400

Antwort

Q = 2 400 Stück

10.Break-even-Analyse

Antwort: MS = 20 %

Break-even-Menge

Q = F/(p − v) = 30 000/6 = 5 000

Sicherheitsabstand

MS = (6 250 − 5 000)/6 250·100 = 20%

Antwort

MS = 20%

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