Investition und Finanzierung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Break-even-Analyse

Deckungsbeitrag: CM = p − v
Break-even-Menge: Q_BE = FC/(p − v)
Zielgewinn: Q = (FC + profit)/(p − v)
Gewinn: π = (p − v)·Q − FC
Sicherheitsabstand: (Q − Q_BE)/Q

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €5 000 zu einem Nominalzins von 2 % pro Jahr mit monatlicher Verzinsung an. Bestimme den Wert FV der Anlage nach 7 Jahren.

PV = €5 0002% / 12n = 7

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Ein Darlehen von €200 000 wird über 15 Jahre mit gleichen Monatsraten bei 3,6 % pro Jahr und monatlicher Verzinsung getilgt. Wie viel Zinsen I werden über die gesamte Laufzeit gezahlt?

P = €200 0003,6% / 12N = 180

I = €

3.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €75 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 diese Zahlungen: €17 000, €27 000, €29 000. Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 10%CF₀ = −75 000CF₁ = 17 000CF₂ = 27 000CF₃ = 29 000

NPV = €

4.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €40 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 jeweils €15 500, €15 500, €13 500, €23 000. Die Zahlungen können zu den Kapitalkosten von 12 % wieder angelegt werden. Bestimme den modifizierten internen Zinsfuß MIRR in Prozent.

r = 12%CF₀ = −40 000CF₁ = 15 500CF₂ = 15 500CF₃ = 13 500CF₄ = 23 000

MIRR = %

5.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 4% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 9 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 3,5% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 4%YTM = 3,5%n = 9

P = €

6.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 3% in zwei Halbjahresraten und wird in 3 Jahren fällig. Sie wird für €986 verkauft. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM als Jahreszins (das Doppelte der Halbjahresrendite) in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 3% (2×)n = 3P = €986

YTM = %

7.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €3 000 000 und Fremdkapital im Wert von €1 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 14%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 4,5% und der Steuersatz 25,8%. Bestimme den WACC.

E = €3 000 000D = €1 000 000r_e = 14%r_d = 4,5%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM & WACCSchwer

Das Geschäft eines Unternehmens hat ein unverschuldetes Beta (Asset-Beta) von 0,9. Es plant einen Verschuldungsgrad D/E von 1,5. Der Steuersatz beträgt 20%, der risikolose Zinssatz 2% und die Marktrisikoprämie 7%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e bei der neuen Kapitalstruktur.

β_U = 0,9D/E = 1,5T = 20%r_f = 2%r_m − r_f = 7%

r_e = %

9.Break-even-AnalyseMittel

Ein Unternehmen verkauft 1 250 Stück zu je €26. Die variablen Kosten betragen €18 pro Stück und die Fixkosten €4 000. Bestimme den Operating Leverage (Grad der operativen Hebelwirkung) DOL bei diesem Absatz.

Q = 1 250p = €26v = €18F = €4 000

DOL =

10.Break-even-AnalyseSchwer

Ein Produkt wird für €28 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €25 pro Stück und Fixkosten von €1 500 pro Jahr. Geplant ist ein Absatz von 800 Stück. Bestimme den Sicherheitsabstand MS in Prozent des geplanten Absatzes.

F = €1 500p = €28v = €25Plan = 800

MS = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 5751 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = r/m = 0,02/12 = 0,001667

N = m·n = 12·7 = 84

Endwert

FV = 5 000·(1 + 0,001667)⁸⁴ = 5 000·1,15 = €5 750,70

Antwort

FV = €5 750,70

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: I = 59129 €

Monatliche Rate

i = 0,003, N = 180

A = 200 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)⁻¹⁸⁰) = €1 439,61

Gesamtzinsen

I = N·A − P = 180·1440 − 200 000 = €59 129,22

Antwort

I = €59 129,22

3.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −15443 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 17 000/1,1 = 15 454,55

CF₂/(1 + 0,1)² = 27 000/1,21 = 22 314,05

CF₃/(1 + 0,1)³ = 29 000/1,331 = 21 788,13

Addieren

NPV = €−15 443,28

Antwort

NPV = €−15 443,28

Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.

4.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: MIRR = 18,67 %

Modifizierter interner Zinsfuß: Zinse jede Einzahlung mit dem Wiederanlagezins (meist den Kapitalkosten) bis zum Projektende auf, um den Endwert TV zu erhalten. Der MIRR ist der Zinssatz, der die Anfangsinvestition in TV überführt: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Endwert der Einzahlungen

15 500·1,12³ = 21 776,38

15 500·1,12² = 19 443,20

13 500·1,12¹ = 15 120,00

23 000·1,12⁰ = 23 000,00

TV = 79 339,58

MIRR

MIRR = (79 339,58/40 000)^1/4 − 1 = 18,67%

Antwort

MIRR = 18,67%

5.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 1038 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €20,00, i = 0,0175, N = 18

Barwert der Kupons

€20,00·(1 − 0,7318)/0,0175 = €306,54

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,7318 = €731,78

Kurs

P = €1 038,32

Antwort

P = €1 038,32

Die Rendite liegt unter dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe über pari.

6.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 3,496 %

Pro Periode

C = €15,00, N = 6

Numerisch lösen

i = 1,748% pro Halbjahr

YTM

YTM = 2·1,748% = 3,496%

Antwort

YTM = 3,496%

7.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 11,33 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €4 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25

WACC

WACC = 0,75·14% + 0,25·4,5%·(1 − 0,258) = 11,33%

Antwort

WACC = 11,33%

8.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 15,86 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Verschuldetes Beta

β_L = 0,9·(1 + 0,8·1,5) = 1,98

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 2% + 1,98·7% = 15,86%

Antwort

r_e = 15,86%

9.Break-even-Analyse

Antwort: DOL = 1,667

Operating Leverage: Fixkosten lassen den Gewinn stärker reagieren als den Umsatz. Der Grad der operativen Hebelwirkung DOL = Deckungsbeitrag/Betriebsergebnis gibt an, dass eine Absatzänderung von 1 % den Gewinn um DOL % ändert. Er ist knapp über der Gewinnschwelle sehr hoch und sinkt mit wachsendem Absatz.

Gesamter Deckungsbeitrag

CM = 1 250·(26 − 18) = €10 000

Betriebsergebnis

Π = 10 000 − 4 000 = €6 000

DOL

DOL = 10 000/6 000 = 1,667

Antwort

DOL = 1,667

10.Break-even-Analyse

Antwort: MS = 37,5 %

Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).

Break-even-Menge

Q = F/(p − v) = 1 500/3 = 500

Sicherheitsabstand

MS = (800 − 500)/800·100 = 37,5%

Antwort

MS = 37,5%

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