Investition und Finanzierung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Break-even-Analyse

Deckungsbeitrag: CM = p − v
Break-even-Menge: Q_BE = FC/(p − v)
Zielgewinn: Q = (FC + profit)/(p − v)
Gewinn: π = (p − v)·Q − FC
Sicherheitsabstand: (Q − Q_BE)/Q

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du brauchst €40 000 in 9 Jahren. Ein Konto bringt 2 % pro Jahr bei vierteljährlicher Verzinsung. Wie viel musst du heute einzahlen? Bestimme den Barwert PV.

FV = €40 0002% / 4n = 9

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Ein Darlehen von €8 000 wird über 5 Jahre in gleichen Monatsraten zurückgezahlt. Der Zinssatz beträgt 5,4 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Bestimme die Monatsrate A.

P = €8 0005,4% / 12N = 60

A = €

3.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €75 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 diese Zahlungen: €27 000, €29 000, €30 000, €37 000. Die Kapitalkosten betragen 7,000000000000001 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −75 000CF₁ = 27 000CF₂ = 29 000CF₃ = 30 000CF₄ = 37 000

NPV = €

4.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €50 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €36 000, €18 500, €37 500. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −50 000CF₁ = 36 000CF₂ = 18 500CF₃ = 37 500

IRR = %

5.Anleihekurs & RenditeMittel

Du kaufst eine Anleihe mit 4 Jahren Restlaufzeit (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 5%), wenn ihre Rendite bis zur Fälligkeit 4% beträgt. Ein Jahr später, direkt nach Erhalt des ersten Kupons, verkaufst du sie bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 3,5%. Bestimme deine Haltedauerrendite HPR in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 5%n = 4y₀ = 4%y₁ = 3,5%

HPR = %

6.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 5% wird in 4 Jahren fällig und kostet €930. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 5%n = 4P = €930

YTM = %

7.CAPM & WACCMittel

Eine Aktie mit einem Beta von 0,9 hat eine geforderte Rendite von 8,05%. Der risikolose Zinssatz beträgt 4%. Welche erwartete Marktrendite r_m folgt aus dem CAPM?

β = 0,9r_e = 8,05%r_f = 4%

r_m = %

8.CAPM & WACCSchwer

Das Geschäft eines Unternehmens hat ein unverschuldetes Beta (Asset-Beta) von 0,6. Es plant einen Verschuldungsgrad D/E von 0,4. Der Steuersatz beträgt 21%, der risikolose Zinssatz 3% und die Marktrisikoprämie 6%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e bei der neuen Kapitalstruktur.

β_U = 0,6D/E = 0,4T = 21%r_f = 3%r_m − r_f = 6%

r_e = %

9.Break-even-AnalyseMittel

Ein Produkt wird für €25 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €15 pro Stück. Die Fixkosten betragen €15 000 pro Monat. Wie viele Stück Q müssen pro Monat verkauft werden, um einen Gewinn von €2 000 zu erzielen?

F = €15 000p = €25v = €15Gewinn = €2 000

Q = Stück

10.Break-even-AnalyseSchwer

Ein Produkt wird für €65 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €45 pro Stück und Fixkosten von €16 000 pro Jahr. Geplant ist ein Absatz von 1 200 Stück. Bestimme den Sicherheitsabstand MS in Prozent des geplanten Absatzes.

F = €16 000p = €65v = €45Plan = 1 200

MS = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 33426 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = 0,02/4 = 0,005

N = 4·9 = 36

Barwert

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1,197 = €33 425,80

Antwort

PV = €33 425,80

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: A = 152,4 €

Monatszins und Anzahl der Raten

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·5 = 60

Rate

Der Barwert von N gleichen Raten A ist A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Setze ihn gleich dem Darlehen und löse nach A auf.

(1 + i)^−N = 0,7638

A = 8 000·0,0045/(1 − 0,7638) = €152,44

Antwort

A = €152,44

3.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 28279 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 27 000/1,07 = 25 233,64

CF₂/(1 + 0,07)² = 29 000/1,145 = 25 329,72

CF₃/(1 + 0,07)³ = 30 000/1,225 = 24 488,94

CF₄/(1 + 0,07)⁴ = 37 000/1,311 = 28 227,12

Addieren

NPV = €28 279,43

Antwort

NPV = €28 279,43

Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.

4.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 38,11 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(35%) = 2 059,14

NPV(40%) = −1 180,76

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 35 + 5·2 059,14/(2 059,14 − (−1 180,76)) = 38,18%

exakt: NPV(38,11%) = 0 → IRR = 38,11%

Antwort

IRR = 38,11%

5.Anleihekurs & Rendite

Antwort: HPR = 5,377 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Kaufpreis

C = €50,00, i = 0,04, N = 4

€50,00·(1 − 0,8548)/0,04 + €1 000·0,8548 = €181,49 + €854,80 = €1 036,30

Verkaufspreis

C = €50,00, i = 0,035, N = 3

€50,00·(1 − 0,9019)/0,035 + €1 000·0,9019 = €140,08 + €901,94 = €1 042,02

Haltedauerrendite

HPR = (50 + 1 042,02 − 1 036,30)/1 036,30 = 5,377%

Antwort

HPR = 5,377%

6.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 7,07 %

Gleichung für die Rendite

€930 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

Numerisch lösen

P(7%) = €932,26, P(8%) = €900,64

YTM = 7,07%

Antwort

YTM = 7,07%

7.CAPM & WACC

Antwort: r_m = 8,5 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Marktrisikoprämie

r_m − r_f = (8,05% − 4%)/0,9 = 4,5%

Marktrendite

r_m = 4% + 4,5% = 8,5%

Antwort

r_m = 8,5%

8.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 7,738 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Verschuldetes Beta

β_L = 0,6·(1 + 0,79·0,4) = 0,7896

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 3% + 0,7896·6% = 7,738%

Antwort

r_e = 7,738%

9.Break-even-Analyse

Antwort: Q = 1700 Stück

Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).

Deckungsbeitrag pro Stück

p − v = 25 − 15 = €10

Menge für den Zielgewinn

Q = (F + Gewinn)/(p − v) = (15 000 + 2 000)/10 = 1 700

Antwort

Q = 1 700 Stück

10.Break-even-Analyse

Antwort: MS = 33,33 %

Break-even-Menge

Q = F/(p − v) = 16 000/20 = 800

Sicherheitsabstand

MS = (1 200 − 800)/1 200·100 = 33,33%

Antwort

MS = 33,33%

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