Investition und Finanzierung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Break-even-Analyse

Deckungsbeitrag: CM = p − v
Break-even-Menge: Q_BE = FC/(p − v)
Zielgewinn: Q = (FC + profit)/(p − v)
Gewinn: π = (p − v)·Q − FC
Sicherheitsabstand: (Q − Q_BE)/Q

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €2 000 zu einem Nominalzins von 2 % pro Jahr mit vierteljährlicher Verzinsung an. Bestimme den Wert FV der Anlage nach 9 Jahren.

PV = €2 0002% / 4n = 9

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Eine Hypothek von €250 000 wird über 25 Jahre mit gleichen Monatsraten bei 6 % pro Jahr und monatlicher Verzinsung getilgt. Wie viel ist direkt nach der Rate am Ende von Jahr 8 noch geschuldet? Bestimme die Restschuld B.

P = €250 0006% / 12N = 300k = 96

B = €

3.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €20 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 diese Zahlungen: €7 000, €8 000, €5 000, €9 000. Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 10%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 000CF₂ = 8 000CF₃ = 5 000CF₄ = 9 000

NPV = €

4.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet heute €200 000. Seine Zahlung beträgt €60 000 am Ende von Jahr 1 und wächst um 5 % pro Jahr bis zur letzten Zahlung am Ende von Jahr 4. Die Kapitalkosten betragen 12 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €60 000g = 5%n = 4r = 12%

NPV = €

5.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 3% und wird in 11 Jahren fällig. Ihre Rendite bis zur Fälligkeit ändert sich von 5% auf 6%. Um wie viel ΔP ändert sich der Anleihekurs?

F = €1 000Kuponsatz = 3%n = 11y₁ = 5%y₂ = 6%

ΔP = €

6.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 2% und wird in 5 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 2,5%. Bestimme die Macaulay-Duration D in Jahren.

F = €1 000Kuponsatz = 2%n = 5YTM = 2,5%

D = Jahre

7.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €5 000 000 und Fremdkapital im Wert von €1 000 000. Sein WACC beträgt 7,87%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 3% und der Steuersatz 25,8%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e.

E = €5 000 000D = €1 000 000WACC = 7,87%r_d = 3%T = 25,8%

r_e = %

8.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 4 000 000 Aktien zu je €58,00 und 20 000 Anleihen mit einem Kurs von je €1 000. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 7% und der Steuersatz 25%. Das Beta der Aktie ist 1,1, der risikofreie Zinssatz 1% und die Marktrendite 5%. Bestimme den WACC.

β = 1,1r_f = 1%r_m = 5%r_d = 7%T = 25%

WACC = %

9.Break-even-AnalyseMittel

Ein Produkt wird für €40 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €30 pro Stück. Die Fixkosten betragen €50 000 pro Monat. Wie viele Stück Q müssen pro Monat verkauft werden, um einen Gewinn von €5 000 zu erzielen?

F = €50 000p = €40v = €30Gewinn = €5 000

Q = Stück

10.Break-even-AnalyseSchwer

Ein Produkt wird für €19 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €4 pro Stück und Fixkosten von €30 000 pro Jahr. Geplant ist ein Absatz von 3 200 Stück. Bestimme den Sicherheitsabstand MS in Prozent des geplanten Absatzes.

F = €30 000p = €19v = €4Plan = 3 200

MS = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 2393 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = r/m = 0,02/4 = 0,005

N = m·n = 4·9 = 36

Endwert

FV = 2 000·(1 + 0,005)³⁶ = 2 000·1,197 = €2 393,36

Antwort

FV = €2 393,36

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: B = 205689 €

Monatliche Rate

i = 0,005, N = 300

A = 250 000·0,005/(1 − (1 + 0,005)⁻³⁰⁰) = €1 610,75

Barwert der verbleibenden Raten

Was noch geschuldet wird, muss genau durch die verbleibenden Raten getilgt werden.

N − k = 300 − 96 = 204

B = 1611·(1 − (1 + 0,005)⁻²⁰⁴)/0,005 = €205 689,17

Antwort

B = €205 689,17

3.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 2879 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 7 000/1,1 = 6 363,64

CF₂/(1 + 0,1)² = 8 000/1,21 = 6 611,57

CF₃/(1 + 0,1)³ = 5 000/1,331 = 3 756,57

CF₄/(1 + 0,1)⁴ = 9 000/1,464 = 6 147,12

Addieren

NPV = €2 878,90

Antwort

NPV = €2 878,90

Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.

4.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −4980 €

Barwert der wachsenden Rente

((1,05)/(1,12))⁴ = 0,7725

PV = 60 000/(0,12 − 0,05)·(1 − 0,7725) = 195 020,40

NPV

NPV = 195 020,40 − 200 000 = −€4 979,60

Antwort

NPV = −€4 979,60

Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.

5.Anleihekurs & Rendite

Antwort: ΔP = −70,48 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Kurs bei der alten Rendite

C = €30,00, i = 0,05, N = 11

€30,00·(1 − 0,5847)/0,05 + €1 000·0,5847 = €249,19 + €584,68 = €833,87

Kurs bei der neuen Rendite

C = €30,00, i = 0,06, N = 11

€30,00·(1 − 0,5268)/0,06 + €1 000·0,5268 = €236,61 + €526,79 = €763,39

Änderung

ΔP = 763,39 − 833,87 = −€70,48

Antwort

ΔP = −€70,48

6.Anleihekurs & Rendite

Antwort: D = 4,805 Jahre

Duration: Die Macaulay-Duration ist der gewichtete mittlere Zeitpunkt, zu dem eine Anleihe ihre Zahlungen leistet, mit den Barwerten der Zahlungen als Gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. Die modifizierte Duration D/(1 + y) schätzt die prozentuale Kursänderung bei einer kleinen Renditeänderung: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Barwert jeder Zahlung

t = 1: 20/1,025 = 19,51, t·PV = 19,51

t = 2: 20/1,051 = 19,04, t·PV = 38,07

t = 3: 20/1,077 = 18,57, t·PV = 55,72

t = 4: 20/1,104 = 18,12, t·PV = 72,48

t = 5: 1020/1,131 = 901,53, t·PV = 4 507,66

Duration

P = 976,77

D = 4 693,43/976,77 = 4,805

Antwort

D = 4,805 Jahre

7.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 8,999 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €6 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667

Fremdkapitalanteil am WACC

0,1667·3%·(1 − 0,258) = 0,371%

Eigenkapitalkosten

r_e = (7,87% − 0,371%)/0,8333 = 8,999%

Antwort

r_e = 8,999%

8.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 5,388 %

Marktwerte

E = 4 000 000·€58,00 = €232 000 000

D = 20 000·€1 000 = €20 000 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 1% + 1,1·4% = 5,4%

Gewichte

V = €252 000 000, E/V = 0,9206, D/V = 0,07937

WACC

WACC = 0,9206·5,4% + 0,07937·7%·(1 − 0,25) = 5,388%

Antwort

WACC = 5,388%

9.Break-even-Analyse

Antwort: Q = 5500 Stück

Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).

Deckungsbeitrag pro Stück

p − v = 40 − 30 = €10

Menge für den Zielgewinn

Q = (F + Gewinn)/(p − v) = (50 000 + 5 000)/10 = 5 500

Antwort

Q = 5 500 Stück

10.Break-even-Analyse

Antwort: MS = 37,5 %

Break-even-Menge

Q = F/(p − v) = 30 000/15 = 2 000

Sicherheitsabstand

MS = (3 200 − 2 000)/3 200·100 = 37,5%

Antwort

MS = 37,5%

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