Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 20 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Ein Auto, das mit konstant 34 m/s zu schnell fährt, passiert ein stehendes Polizeiauto. In diesem Moment fährt das Polizeiauto los und beschleunigt gleichmäßig mit 3 m/s². Wie weit von seinem Startpunkt entfernt holt das Polizeiauto auf? Bestimme d.
Ein Ball wird von der Kante eines Dachs 10 m über dem Boden mit 19 m/s senkrecht nach oben geworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die größte Höhe hmax über dem Boden.
Ein Schlitten mit 15 kg wird über ebenen Schnee mit einem Seil unter 20° über der Horizontalen mit einer Kraft von 70 N gezogen. Der Gleitreibungskoeffizient beträgt 0,1. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Beschleunigung a des Schlittens.
Ein Block mit 8,5 kg auf einem waagerechten Tisch ist über eine leichte Schnur, die über eine reibungsfreie Rolle läuft, mit einer hängenden Masse von 6 kg verbunden. Der Gleitreibungskoeffizient zwischen Block und Tisch ist 0,25. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Seilkraft T in der Schnur.
Ein Ball wird unter 30° zur Horizontalen vom ebenen Boden abgeworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand. Bestimme die maximale Höhe H, die der Ball erreicht.
Ein Ball wird mit 31 m/s unter 20° zur Horizontalen von der Kante einer 50 m hohen Klippe abgeworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Geschwindigkeit v, mit der er auf dem Boden aufkommt.
Eine kleine Kugel an einem Faden der Länge 0,9 m bewegt sich so auf einer waagerechten Kreisbahn, dass der Faden einen konstanten Winkel von 50° mit der Vertikalen bildet (Kegelpendel). Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Geschwindigkeit v der Kugel.
Eine Kurve mit dem Radius 150 m ist um 30° überhöht, und der Haftreibungskoeffizient zwischen Reifen und Straße beträgt 0,4. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die niedrigste Geschwindigkeit vmin, mit der ein Auto die Kurve durchfahren kann, ohne die Böschung hinunterzurutschen.
Ein Auto mit 800 kg fährt mit konstant 90 km/h eine Steigung von 8° hinauf. Luft- und Rollwiderstand betragen zusammen 750 N. Bestimme die Leistung P, die die Räder abgeben müssen, in kW.
Ein Block mit 2 kg wird auf einer glatten Rampe in 3,5 m Höhe aus der Ruhe losgelassen. Unten überquert er einen rauen, waagerechten Streifen von 4 m Länge (μ = 0,3) und läuft dann auf einer glatten Fläche gegen eine Feder (k = 2000 N/m). Bestimme die maximale Zusammendrückung x der Feder.
Ein Gleiter mit 0,5 kg und 12 m/s stößt auf einer reibungsfreien Bahn vollkommen elastisch und zentral mit einem ruhenden Gleiter mit 1 kg zusammen. Bestimme die Geschwindigkeit v′2 des zweiten Gleiters nach dem Stoß.
An einer Kreuzung stößt ein Auto mit 1500 kg, das mit 8 m/s nach Osten fährt, mit einem Auto mit 1600 kg zusammen, das mit 11 m/s nach Norden fährt. Die Autos verhaken sich. Bestimme die Geschwindigkeit v′ des Wracks direkt nach dem Zusammenstoß.
Ein Block von 9,5 kg hängt an einem leichten Seil, das um eine Rolle gewickelt ist, eine homogene Vollscheibe der Masse 5,5 kg und des Radius 0,35 m, die sich auf einer reibungsfreien waagerechten Achse dreht. Der Block wird aus der Ruhe losgelassen. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Beschleunigung a des Blocks.
Eine Person steht auf einer reibungsfreien Drehscheibe und hält in jeder Hand eine Hantel von 1,5 kg, 0,85 m von der Achse entfernt. Die Person und die Drehscheibe allein haben ein Trägheitsmoment von 2,5 kg·m² um die Achse. Sie drehen sich mit 55 rpm und ziehen dann die Hanteln auf 0,2 m Abstand von der Achse heran. Behandle die Hanteln als Punktmassen. Bestimme die neue Drehzahl n2 in rpm.
Ein Motor mit 11 kW und 1440 rpm treibt ein Ritzel mit 36 Zähnen an, das mit einem Rad mit 80 Zähnen kämmt. Das Zahnradpaar hat einen Wirkungsgrad von 97 %. Bestimme das Drehmoment T1 an der Motorwelle.
Ein Motor mit 11 kW und 1440 rpm treibt Zahnrad A (12 Zähne) an, das mit Zahnrad B (15 Zähne) kämmt. Zahnrad C (12 Zähne) auf derselben Welle wie B treibt Zahnrad D (72 Zähne) auf der Abtriebswelle an. Jeder Zahneingriff hat einen Wirkungsgrad von 95 %. Bestimme das Abtriebsdrehmoment Tout.
Ein Fadenpendel hat eine Länge von 1,1 m. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme seine Periodendauer T für kleine Auslenkungen.
Eine Masse an einer Feder mit k = 50 N/m schwingt auf einer reibungsfreien Fläche mit einer Amplitude von 9 cm. Bestimme ihre kinetische Energie K, wenn sie 7 cm von der Ruhelage entfernt ist.
Beim Ausschwingversuch an einem gedämpften Feder-Masse-System folgt auf einen Auslenkungsscheitel von 20 mm 2 Perioden später ein Scheitel von 7,3 mm. Bestimme den Dämpfungsgrad ζ.
Eine Masse von 5 kg hängt an der Feder k₃ = 12 kN/m. Das obere Ende von k₃ ist an einem starren Balken befestigt, der an zwei nebeneinander angeordneten Federn hängt, k₁ = 80 kN/m und k₂ = 15 kN/m; der Balken bleibt waagerecht. Vernachlässige die Dämpfung und die Massen von Federn und Balken. Bestimme die Eigenfrequenz fn der vertikalen Schwingung in Hz.
Antwort: d = 770,7 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
In diesem Moment fährt das Polizeiauto mit 2v = 68 m/s.
Antwort: hmax = 28,4 m
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² und v² = v₀² + 2·a·s. Wähle die Gleichung, die die drei bekannten Größen und die gesuchte enthält, und halte die Vorzeichen mit einer einzigen positiven Richtung konsistent.
Antwort: a = 3,564 m/s²
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Antwort: T = 43,13 N
Zweites Newtonsches Gesetz: Die resultierende Kraft auf einen Körper ist gleich seiner Masse mal seiner Beschleunigung, ΣF = m·a. Zeichne ein Freikörperbild, wähle eine positive Richtung entlang der Bewegung und addiere alle Kräfte in dieser Richtung: angreifende Kräfte, die Reibung μ·N entgegen der Bewegung und die Komponenten der Gewichtskraft.
Antwort: H = 2,497 m
Schiefer Wurf: Ohne Luftwiderstand gilt x = vxt und y = h + vyt − ½gt². Die beiden Richtungen sind unabhängig, nur die Zeit ist gemeinsam.
Die horizontale Geschwindigkeit bleibt konstant; die vertikale Bewegung hat eine konstante Beschleunigung g = 9,81 m/s² nach unten.
Am höchsten Punkt ist die vertikale Geschwindigkeit null: vy² = 2gH.
Antwort: v = 44,07 m/s
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Energie oder v² = v₀² + 2as in senkrechter Richtung.
Probe mit der Energie: v² = v₀² + 2gh.
Antwort: v = 2,839 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Fadenkraft und Schwerkraft ergeben zusammen die nach innen gerichtete Kraft: tan θ = v²/(r·g).
Antwort: vmin = 14,56 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Die Reibung zeigt hangaufwärts.
Antwort: P = 46,06 kW
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d). Leistung ist Kraft mal Geschwindigkeit: P = F·v.
Antwort: x = 21,24 cm
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d).
Die Rampe ist glatt, also nimmt nur der Streifen Energie weg.
Antwort: v′2 = 8 m/s
Impulserhaltung: Wirkt während eines Stoßes keine äußere Kraft, ist der Gesamtimpuls Σm·v vorher gleich dem Gesamtimpuls nachher. Geschwindigkeiten haben eine Richtung: Wähle eine positive Richtung und gib Geschwindigkeiten in Gegenrichtung ein Minuszeichen. Beim elastischen Stoß bleibt auch die kinetische Energie erhalten; beim vollständig unelastischen Stoß bleiben die Körper aneinander haften.
Löst man Impuls- und Energieerhaltung gemeinsam, ergeben sich diese beiden Ergebnisse.
Antwort: v′ = 6,871 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Antwort: a = 7,608 m/s²
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Antwort: n2 = 97,98 rpm
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Die kinetische Energie nimmt zu: Die zusätzliche Energie stammt aus der Arbeit, die die Person beim Heranziehen der Hanteln verrichtet.
Antwort: T1 = 72,95 N·m
Zahnradgetriebe: Kämmende Zahnräder haben an den Zähnen dieselbe Geschwindigkeit, also n₁·N₁ = n₂·N₂: Das Rad mit weniger Zähnen dreht schneller. Räder auf derselben Welle drehen gleich schnell. Die Leistung wird (abzüglich der Verluste) weitergegeben, daher steigt das Drehmoment, wenn die Drehzahl sinkt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, und P = T·ω mit ω = 2π·n/60.
Antwort: Tout = 493,8 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Antwort: T = 2,104 s
Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².
Antwort: K = 0,08 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Antwort: ζ = 0,07995
Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Antwort: fn = 7,347 Hz
Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Nur k1 und k2 liegen parallel. Dieses Paar liegt in Reihe mit k3, also addiere die Kehrwerte.
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