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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). In einer randomisierten Studie erhielten 360 Patienten eine neue Behandlung und 240 die Kontrollbehandlung. Die Tabelle zeigt, wie viele in jeder Gruppe das Ergebnis (ein unerwünschtes Ereignis wie ein Schlaganfall) hatten. Bestimme die Number needed to treat NNT, um ein Ereignis zu verhindern. Auf eine ganze Zahl von Patienten aufrunden.
Behandlung: 41/360Kontrolle: 55/240
NNT =
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). 10 000 Personen werden mit einem Test mit einer Sensitivität von 85 % und einer Spezifität von 99 % untersucht. Die Prävalenz der Erkrankung beträgt 16 %. Wie viele Erkrankte werden vom Test übersehen (falsch Negative, FN)?
N = 10 000p = 16%Se = 85%Sp = 99%
FN =
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 16, 52, 40, 28, 52, 55, 14.
n = 7
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 70 und Standardabweichung 8. Welcher Anteil P der Werte liegt über 80?
μ = 70σ = 8x = 80
P =
5.KonfidenzintervalleMittel
Eine Stichprobe von 21 Elementen hat den Mittelwert 104 und die Standardabweichung s = 8,5. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die obere Grenze des 90-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
n = 21x̄ = 104s = 8,590%t(20) = 1,725
obere Grenze =
6.KonfidenzintervalleSchwer
Über den Anteil fehlerhafter Produkte ist vorab nichts bekannt. Wie viele Produkte n müssen geprüft werden, damit ein 90-%-Konfidenzintervall für den Anteil eine Fehlermarge von höchstens 0,025 hat?
p = 0,5E = 0,02590%
n =
7.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel
Zwei Lehrmethoden werden verglichen. Gruppe 1: 22 Studierende, mittlere Punktzahl 27,5, Standardabweichung 11,5. Gruppe 2: 9 Studierende, mittlere Punktzahl 34,4, Standardabweichung 9. Nimm gleiche Varianzen der Grundgesamtheiten an und verwende den gepoolten Zweistichproben-t-Test. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ₁ = μ₂, mit der Differenz x̄₁ − x̄₂ (Gruppe 1 minus Gruppe 2).
n₁ = 22x̄₁ = 27,5s₁ = 11,5n₂ = 9x̄₂ = 34,4s₂ = 9
t =
8.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
Ein einseitiger z-Test von H₀: μ = 500 gegen H₁: μ < 500 wird bei α = 0.01 mit einer Stichprobe von 36 durchgeführt; die Standardabweichung ist bekanntermaßen 15. In Wirklichkeit beträgt der Mittelwert 491.5. Bestimme die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art β in Prozent.
μ₀ = 500μ = 491,5σ = 15n = 36α = 0,01
β = %
3Lösungen
1.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: NNT = 9
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Ereignisraten
EER = 41/360 = 0,1139
CER = 55/240 = 0,2292
Number needed to treat
ARR = 0,2292 − 0,1139 = 0,1153
NNT = 1/0,1153 = 8,675 → 9
Antwort
NNT = 9
Die Behandlung von 9 Patienten verhindert etwa ein Ereignis.
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: FN = 240
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Mit und ohne Erkrankung
10 000·0,16 = 1600
10 000 − 1600 = 8400
Falsch Negative
FN = 1600·0,15 = 240
Antwort
FN = 240
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 17,48
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = 1,25
Standardnormalverteilungstabelle
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
Antwort
P = 0,1056
5.Konfidenzintervalle
Antwort: obere Grenze = 107,2
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Kritischer Wert
df = n − 1 = 20, t = 1,725
Fehlermarge
E = 1,725·8,5/√21 = 3,2
Intervall
104 ± 3,2 → [100,8, 107,2]
Antwort
obere Grenze = 107,2
6.Konfidenzintervalle
Antwort: n = 1083
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Nach n auflösen
n = 1,645²·0,5·0,5/0,025² = 1082
Aufrunden
n = 1083
Antwort
n = 1083
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: t = −1,605
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Gepoolte Varianz
sp² = (21·11,5² + 8·9²)/29 = 118,1
sp = 10,87
Standardfehler
SE = 10,87·√(1/22 + 1/9) = 4,3
Teststatistik
t = (27,5 − 34,4)/4,3 = −1,605
Antwort
t = −1,605
Bei df = 29 ist der zweiseitige kritische 5-%-Wert 2,045; |t| ist kleiner, also wird H₀ nicht verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: β = 14,14 %
Teststärke: Die Teststärke 1 − β ist die Wahrscheinlichkeit, H₀ zu verwerfen, wenn sie falsch ist. Bestimme die Grenze x̄c aus μ₀ und z_α und berechne dann mit dem wahren Mittelwert die Wahrscheinlichkeit, jenseits von x̄c zu landen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).