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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Ein neuer Test wurde in einer Studie mit dem Referenzstandard verglichen (siehe Vierfeldertafel). Bestimme die positive Likelihood-Ratio LR+. Runde auf zwei Nachkommastellen.
a = 145b = 144c = 85d = 966
LR+ =
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). 10 000 Personen werden mit einem Test mit einer Sensitivität von 94 % und einer Spezifität von 79 % untersucht. Die Prävalenz der Erkrankung beträgt 6 %. Wie viele falsch positive Ergebnisse FP sind zu erwarten?
N = 10 000p = 6%Se = 94%Sp = 79%
FP =
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 37, 57, 28, 22, 19.
n = 5
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 100 und Standardabweichung 8. Welcher Anteil P der Werte liegt über 112?
μ = 100σ = 8x = 112
P =
5.KonfidenzintervalleMittel
Die Akkulaufzeit zweier Handymodelle wird verglichen. Modell 1: 40 Handys, Mittelwert 46,5 h, bekannte Standardabweichung 18 h. Modell 2: 100 Handys, Mittelwert 37,5 h, bekannte Standardabweichung 12 h. Bestimme die Fehlermarge E des 90-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.
Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 5. Wie groß muss die Stichprobe n sein, damit ein 95-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 1,5 hat?
σ = 5E = 1,595%
n =
7.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel
Eine Stichprobe von 25 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 125 und eine Stichproben-Standardabweichung von 12. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 125s = 12n = 25
t =
8.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
Ein einseitiger z-Test bei α = 0,01 soll eine Verschiebung des Mittelwerts um 2,5 Einheiten mit einer Teststärke von 80 % erkennen. Die Standardabweichung beträgt 7. Bestimme den Mindeststichprobenumfang n.
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Sensitivität und Spezifität
Se = 145/230 = 0,6304
Sp = 966/1110 = 0,8703
Positive Likelihood-Ratio
LR+ = 0,6304/(1 − 0,8703) = 4,86
Antwort
LR+ = 4,86
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: FP = 1974
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Mit und ohne Erkrankung
10 000·0,06 = 600
10 000 − 600 = 9400
Falsch Positive
FP = 9400·0,21 = 1974
Antwort
FP = 1974
Von den 2538 Positiven haben nur 564 die Erkrankung (PPV 22,2 %).
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 15,27
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = 1,5
Standardnormalverteilungstabelle
Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681
Antwort
P = 0,06681
5.Konfidenzintervalle
Antwort: E = 5,081 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Punktschätzer
x̄₁ − x̄₂ = 46,5 − 37,5 = 9
Standardfehler
SE = √(18²/40 + 12²/100) = 3,089
Fehlermarge
E = 1,645·3,089 = 5,081
Antwort
E = 5,081 h
Das Intervall enthält die 0 nicht, die Mittelwerte unterscheiden sich also signifikant.
6.Konfidenzintervalle
Antwort: n = 43
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Nach n auflösen
n = (1,96·5/1,5)² = 42,68
Aufrunden
Ein Stichprobenumfang ist eine ganze Zahl, und Abrunden würde die Fehlermarge zu groß machen.
n = 43
Antwort
n = 43
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: t = 2,083
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).
Standardfehler
SE = 12/√25 = 12/5 = 2,4
Teststatistik
t = (125 − 120)/2,4 = 2,083
Antwort
t = 2,083
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: n = 79
Stichprobenumfang für einen Test: Um eine wahre Verschiebung δ mit der Teststärke 1 − β in einem einseitigen z-Test zum Niveau α zu erkennen, muss der Standardfehler δ = (z_α + z_β)·σ/√n erfüllen, also n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², aufgerundet.