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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). In einer Kohorte wurden Gruppen von Personen unterschiedlich lange nachbeobachtet (siehe Tabelle: Anzahl der Personen und Nachbeobachtungsjahre jeweils). Während der Nachbeobachtung traten 38 neue Fälle auf. Bestimme die Inzidenzrate IR pro 1000 Personenjahre. Runde auf eine Nachkommastelle.
410 × 4 Jahre580 × 3 Jahre38 neue Fälle
IR = pro 1000 Personenjahre
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Ein Screeningtest hat eine Sensitivität von 76 % und eine Spezifität von 80 %. Er wird in einer Population mit einer Prävalenz von 30 % eingesetzt. Bestimme den positiven prädiktiven Wert PPV als Prozentsatz. Runde auf eine Nachkommastelle.
Se = 76%Sp = 80%p = 30%
PPV = %
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 43, 21, 33, 35, 14, 48, 27.
n = 7
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 100 und Standardabweichung 12. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 85,6.
μ = 100σ = 12x = 85,6
z =
5.KonfidenzintervalleMittel
Der Blutdruck von 12 Patienten wird vor und nach einer Behandlung gemessen. Die Differenzen d = vorher − nachher (mmHg) haben den Mittelwert 4,5 und die Standardabweichung 1,5. Bestimme die untere Grenze des 95-%-Konfidenzintervalls für die mittlere Differenz.
n = 12d̄ = 4,5sd = 1,595%t(11) = 2,201
untere Grenze = mmHg
6.KonfidenzintervalleSchwer
Die Durchmesser von 20 gefertigten Wellen haben eine Stichprobenstandardabweichung von 7,9 µm. Bestimme unter der Annahme normalverteilter Durchmesser die obere Grenze σ des 95-%-Konfidenzintervalls für die Standardabweichung der Grundgesamtheit. Bei df = 19 liegen 2,5 % der χ²-Verteilung unter 8,907 und 2,5 % über 32,852.
n = 20s = 7,9 µmχ² = 8,907, 32,852
σ = µm
7.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel
20 Mitarbeitende machen vor und nach einem Schulungskurs einen Schreibtest. Für jede Person wird die Differenz d = nachher − vorher (Wörter pro Minute) erfasst. Die mittlere Differenz beträgt −1,41 und die Standardabweichung der Differenzen 3,7. Bestimme die Teststatistik t des verbundenen Tests für H₀: μd = 0.
n = 20d̄ = −1,41sd = 3,7
t =
8.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
Ein einseitiger z-Test von H₀: μ = 500 gegen H₁: μ > 500 wird bei α = 0,05 mit einer Stichprobe von 100 durchgeführt; die Standardabweichung ist bekanntermaßen 30. In Wirklichkeit beträgt der Mittelwert 506. Bestimme die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art β in Prozent.
μ₀ = 500μ = 506σ = 30n = 100α = 0,05
β = %
3Lösungen
1.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: IR = 11,2 pro 1000 Personenjahre
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Personenjahre
PY = 410·4 + 580·3 = 3380
Inzidenzrate
IR = 38/3380·1000 = 11,2 pro 1000 Personenjahre
Antwort
IR = 11,2 pro 1000 Personenjahre
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: PPV = 62 %
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Richtig und falsch Positive (pro Person)
Se·p = 0,76·0,3 = 0,228
(1 − Sp)·(1 − p) = 0,2·0,7 = 0,14
Positiver prädiktiver Wert
PPV = 0,228/(0,228 + 0,14) = 0,6196 ≈ 62%
Antwort
PPV = 62%
Je niedriger die Prävalenz, desto niedriger der PPV desselben Tests.
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 11,94
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = (85,6 − 100)/12 = −1,2
Antwort
z = −1,2
5.Konfidenzintervalle
Antwort: untere Grenze = 3,547 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritischer Wert
df = 11, t = 2,201
Fehlermarge
E = 2,201·1,5/√12 = 0,9531
Intervall
4,5 ± 0,9531 → [3,547, 5,453]
Antwort
untere Grenze = 3,547 mmHg
6.Konfidenzintervalle
Antwort: σ = 11,54 µm
Intervall für eine Varianz: (n − 1)s²/σ² ist χ²-verteilt mit n − 1 Freiheitsgraden. Das 95-%-Intervall für σ² reicht von (n − 1)s² geteilt durch den oberen χ²-Wert (2,5 % darüber) bis (n − 1)s² geteilt durch den unteren χ²-Wert (2,5 % darunter); das Intervall für σ ist die Wurzel beider Grenzen. Es ist nicht symmetrisch um s.
Quadratsumme
(n − 1)s² = 19·7,9² = 1186
Grenzen für σ²
1186/32,852 = 36,09
1186/8,907 = 133,1
Grenze für σ
σ = √133,1 = 11,54 µm
Antwort
σ = 11,54 µm
95-%-Intervall für σ: [6,008, 11,54] µm.
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: t = −1,704
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Standardfehler der mittleren Differenz
SE = 3,7/√20 = 0,8273
Teststatistik
t = −1,41/0,8273 = −1,704
Antwort
t = −1,704
Bei df = 19 ist der zweiseitige kritische 5-%-Wert 2,093; |t| ist kleiner, also wird H₀ nicht verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: β = 36,13 %
Teststärke: Die Teststärke 1 − β ist die Wahrscheinlichkeit, H₀ zu verwerfen, wenn sie falsch ist. Bestimme die Grenze x̄c aus μ₀ und z_α und berechne dann mit dem wahren Mittelwert die Wahrscheinlichkeit, jenseits von x̄c zu landen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).