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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). In einer Kohorte wurden Gruppen von Personen unterschiedlich lange nachbeobachtet (siehe Tabelle: Anzahl der Personen und Nachbeobachtungsjahre jeweils). Während der Nachbeobachtung traten 60 neue Fälle auf. Bestimme die Inzidenzrate IR pro 1000 Personenjahre. Runde auf eine Nachkommastelle.
100 × 2,5 Jahre320 × 3 Jahre60 neue Fälle
IR = pro 1000 Personenjahre
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Ohne Arzneimittel haben 35 % der Patienten innerhalb eines Jahres eine bestimmte Nebenwirkung. Das Arzneimittel erhöht dieses Risiko mit einem relativen Risiko von RR = 2,41. Bestimme die Number needed to harm NNH: Wie viele Patienten müssen das Arzneimittel ein Jahr lang einnehmen, damit ein zusätzlicher Patient die Nebenwirkung hat? Auf eine ganze Zahl von Patienten aufrunden.
Kontrolle 35%RR = 2,41
NNH =
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 17, 48, 33, 12, 46, 47, 53.
n = 7
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 70 und Standardabweichung 8. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 78.
μ = 70σ = 8x = 78
z =
5.KonfidenzintervalleMittel
Der Blutdruck von 8 Patienten wird vor und nach einer Behandlung gemessen. Die Differenzen d = vorher − nachher (mmHg) haben den Mittelwert 0,5 und die Standardabweichung 1,7. Bestimme die Fehlermarge E des 95-%-Konfidenzintervalls für die mittlere Differenz.
n = 8d̄ = 0,5sd = 1,795%t(7) = 2,365
E = mmHg
6.KonfidenzintervalleSchwer
Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 16. Wie groß muss die Stichprobe n sein, damit ein 95-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 2,5 hat?
σ = 16E = 2,595%
n =
7.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel
Eine Stichprobe von 100 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 201,4 und eine Stichproben-Standardabweichung von 20. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 201,4s = 20n = 100
t =
8.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
Ein einseitiger z-Test bei α = 0,01 soll eine Verschiebung des Mittelwerts um 5 Einheiten mit einer Teststärke von 95 % erkennen. Die Standardabweichung beträgt 13. Bestimme den Mindeststichprobenumfang n.
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Personenjahre
PY = 100·2,5 + 320·3 = 1210
Inzidenzrate
IR = 60/1210·1000 = 49,6 pro 1000 Personenjahre
Antwort
IR = 49,6 pro 1000 Personenjahre
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: NNH = 3
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Risiko mit dem Arzneimittel
0,35·2,41 = 0,8435
Absolute Risikozunahme
ARI = 0,8435 − 0,35 = 0,4935
Number needed to harm
NNH = 1/0,4935 = 2,026 → 3
Antwort
NNH = 3
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 16,32
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = (78 − 70)/8 = 1
Antwort
z = 1
5.Konfidenzintervalle
Antwort: E = 1,421 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritischer Wert
df = 7, t = 2,365
Fehlermarge
E = 2,365·1,7/√8 = 1,421
Antwort
E = 1,421 mmHg
6.Konfidenzintervalle
Antwort: n = 158
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Nach n auflösen
n = (1,96·16/2,5)² = 157,4
Aufrunden
Ein Stichprobenumfang ist eine ganze Zahl, und Abrunden würde die Fehlermarge zu groß machen.
n = 158
Antwort
n = 158
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: t = 0,7
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).
Standardfehler
SE = 20/√100 = 20/10 = 2
Teststatistik
t = (201,4 − 200)/2 = 0,7
Antwort
t = 0,7
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: n = 107
Stichprobenumfang für einen Test: Um eine wahre Verschiebung δ mit der Teststärke 1 − β in einem einseitigen z-Test zum Niveau α zu erkennen, muss der Standardfehler δ = (z_α + z_β)·σ/√n erfüllen, also n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², aufgerundet.