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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). In einer Kohorte wurden Gruppen von Personen unterschiedlich lange nachbeobachtet (siehe Tabelle: Anzahl der Personen und Nachbeobachtungsjahre jeweils). Während der Nachbeobachtung traten 10 neue Fälle auf. Bestimme die Inzidenzrate IR pro 1000 Personenjahre. Runde auf eine Nachkommastelle.
290 × 3 Jahre280 × 1 Jahr10 neue Fälle
IR = pro 1000 Personenjahre
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). 10 000 Personen werden mit einem Test mit einer Sensitivität von 95 % und einer Spezifität von 79 % untersucht. Die Prävalenz der Erkrankung beträgt 25 %. Wie viele falsch positive Ergebnisse FP sind zu erwarten?
N = 10 000p = 25%Se = 95%Sp = 79%
FP =
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 21, 23, 21, 53, 10.
n = 5
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 70 und Standardabweichung 12. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 77,2.
μ = 70σ = 12x = 77,2
z =
5.KonfidenzintervalleMittel
Ein 95-%-Konfidenzintervall für einen Mittelwert, basierend auf 25 Beobachtungen und bekanntem σ, hat eine Fehlermarge von 3,5. Wie groß ist die Fehlermarge E₂ eines 99-%-Intervalls aus denselben Daten?
95%n₁ = 25E₁ = 3,599%
E₂ =
6.KonfidenzintervalleSchwer
Zwei Dünger werden getestet. Parzellengruppe 1: 5 Parzellen, mittlerer Ertrag 73 kg, Standardabweichung 7 kg. Parzellengruppe 2: 11 Parzellen, Mittelwert 65,5 kg, Standardabweichung 6 kg. Nimm gleiche Varianzen an (gepoolter t-Test, df = n₁ + n₂ − 2). Bestimme die Fehlermarge E des 90-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.
6 Mitarbeitende machen vor und nach einem Schulungskurs einen Schreibtest. Für jede Person wird die Differenz d = nachher − vorher (Wörter pro Minute) erfasst. Die mittlere Differenz beträgt 0,85 und die Standardabweichung der Differenzen 1,3. Bestimme die Teststatistik t des verbundenen Tests für H₀: μd = 0.
n = 6d̄ = 0,85sd = 1,3
t =
8.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
Wie groß muss eine Stichprobe sein, damit das 90-%-Konfidenzintervall für einen Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 2 hat? Die Standardabweichung ist 20. Bestimme den kleinsten Stichprobenumfang n.
σ = 20E = 290%
n =
3Lösungen
1.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: IR = 8,7 pro 1000 Personenjahre
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Personenjahre
PY = 290·3 + 280·1 = 1150
Inzidenzrate
IR = 10/1150·1000 = 8,7 pro 1000 Personenjahre
Antwort
IR = 8,7 pro 1000 Personenjahre
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: FP = 1575
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Mit und ohne Erkrankung
10 000·0,25 = 2500
10 000 − 2500 = 7500
Falsch Positive
FP = 7500·0,21 = 1575
Antwort
FP = 1575
Von den 3950 Positiven haben nur 2375 die Erkrankung (PPV 60,1 %).
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 16,15
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = (77,2 − 70)/12 = 0,6
Antwort
z = 0,6
5.Konfidenzintervalle
Antwort: E₂ = 4,6
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Verhältnis der Fehlermargen
E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(25/25) = 1,314
Neue Fehlermarge
E₂ = 3,5·1,314 = 4,6
Antwort
E₂ = 4,6
6.Konfidenzintervalle
Antwort: E = 5,986 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolte Standardabweichung
sp² = (4·7² + 10·6²)/14 = 39,71
sp = 6,302
Fehlermarge
E = 1,761·6,302·√(1/5 + 1/11) = 5,986
Antwort
E = 5,986 kg
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: t = 1,602
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Standardfehler der mittleren Differenz
SE = 1,3/√6 = 0,5307
Teststatistik
t = 0,85/0,5307 = 1,602
Antwort
t = 1,602
Bei df = 5 ist der zweiseitige kritische 5-%-Wert 2,571; |t| ist kleiner, also wird H₀ nicht verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: n = 271
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).